Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde \vec{F}(x, y)=-x y \hat{i}+2 x^{2} \hat{j} e C é formada pelo segmento de reta do ponto ( 1,-5 ) ao ponto (-2,-3), seguido pela porção da parábola de equação y=1-x^{2} de x=-2 a x=2, que por sua vez é seguida pelo segmento de reta do ponto (2,-3) a (4,-3).

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações dadas:
  • Pede-se calcular a integral de linha \displaystyle\int_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r}.
  • O campo vetorial é \vec{F}(x,y)= -x y\,\hat{i} + 2x^{2}\,\hat{j}. Ou seja, P(x,y) = -x y e Q(x,y)=2x^{2}.
  • A curva C é composta por três trechos encadeados (na ordem indicada):
    1. Segmento de reta de A=(1,-5) até B=(-2,-3).
    2. Porção da parábola y=1-x^{2} de x=-2 a x=2 (vai de B até C=(2,-3)).
    3. Segmento de reta de C=(2,-3) até D=(4,-3).
  • A integral pedida é a soma das integrais nos três trechos (orientados na ordem acima).

Passo 2

Fórmula e ideia para resolver (passo-a-passo didático):
  • Para um campo bidimensional \vec{F}=P(x,y)\,\hat{i}+Q(x,y)\,\hat{j} e uma curva orientada C dada por \vec{r}(t)=(x(t),y(t)) com t em [a,b], a integral de linha é
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\big(P(x(t),y(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t))\,y'(t)\big)\,dt.
  • Em palavras: substitui-se x(t),y(t) no P e no Q, calcula-se dx=x'(t)\,dt e dy=y'(t)\,dt e integra-se o somatório P\,dx+Q\,dy.
  • Vamos aplicar isto trecho a trecho, parametrizando cada segmento de forma simples (intervalo 0 a 1 para retas, e t igual a x para a parábola).

Passo 3

Parametrização e integral do trecho 1 (segmento de A=(1,-5) a B=(-2,-3)):
  • Parametrização linear conveniente: para t\in[0,1],
x(t)=1-3t,\qquad y(t)=-5+2t.
  • Derivadas: x'(t)=-3,\; y'(t)=2.
  • Substituindo em P e Q:
P(x(t),y(t))=-x(t)y(t) = -(1-3t)(-5+2t).
Calculemos passo a passo:
(1-3t)(-5+2t)=-5+17t-6t^{2},
portanto
P(x(t),y(t))= -\big(-5+17t-6t^{2}\big)=5-17t+6t^{2}.
Q(x(t),y(t))=2x(t)^{2}=2(1-3t)^{2}=2(1-6t+9t^{2})=2-12t+18t^{2}.
  • O integrando P\,dx+Q\,dy é
P\,x'(t)+Q\,y'(t)=(5-17t+6t^{2})(-3)+(2-12t+18t^{2})(2).
Agora simplificar termo a termo:
(5-17t+6t^{2})(-3)=-15+51t-18t^{2},
(2-12t+18t^{2})(2)=4-24t+36t^{2},
soma:
-15+51t-18t^{2}+4-24t+36t^{2}=-11+27t+18t^{2}.
  • Integral no trecho 1:
\int_{0}^{1}\big(-11+27t+18t^{2}\big)\,dt.

Passo 4

Cálculo explícito da integral do trecho 1:
\int_{0}^{1}\big(-11+27t+18t^{2}\big)\,dt=\left[-11t+\frac{27}{2}t^{2}+6t^{3}\right]_{0}^{1}=-11+\frac{27}{2}+6.
-11+\frac{27}{2}+6=-11+13{,}5+6=8{,}5=\frac{17}{2}.
Portanto a contribuição do primeiro segmento é \displaystyle\frac{17}{2}.

Passo 5

Parametrização e integral do trecho 2 (parábola y=1-x^{2} de x=-2 a x=2):
  • Parametrização natural: tome t=x, com t\in[-2,2]. Então
x(t)=t,\qquad y(t)=1-t^{2},\qquad dx=dt,\qquad dy=-2t\,dt.
  • Substituindo em P e Q:
P=-x y = -t(1-t^{2}) = -t + t^{3},
Q=2x^{2}=2t^{2}.
  • O integrando é
P\,dx+Q\,dy = (-t+t^{3})\,dt + (2t^{2})(-2t\,dt) = (-t+t^{3}-4t^{3})\,dt = (-t-3t^{3})\,dt.
  • Observação importante (simetria): a função f(t)=-t-3t^{3} é ímpar, isto é f(-t)=-f(t). Integrar uma função ímpar em um intervalo simétrico [-a,a] dá zero:
\int_{-2}^{2}(-t-3t^{3})\,dt = 0.
Portanto a contribuição do trecho 2 é 0.

Passo 6

Parametrização e integral do trecho 3 (segmento de C=(2,-3) a D=(4,-3)):
  • Parametrização linear para s\in[0,1]:
x(s)=2+2s,\qquad y(s)=-3.
  • Derivadas: x'(s)=2,\; y'(s)=0.
  • Substituindo:
P(x,y)=-x y = -(2+2s)(-3)=3(2+2s)=6+6s,
então
P\,x'(s)=(6+6s)\cdot 2 = 12+12s.
E Q\,y'(s)=2x^{2}\cdot 0=0.
  • Integral no trecho 3:
\int_{0}^{1}(12+12s)\,ds=\left[12s+6s^{2}\right]_{0}^{1}=12+6=18.
Portanto a contribuição do terceiro segmento é 18.

Passo 7

Soma das contribuições dos três trechos:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\frac{17}{2}+0+18=\frac{17}{2}+\frac{36}{2}=\frac{53}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{53}{2}

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