Calcule
, onde
e
é formada pelo segmento de reta do ponto (
) ao ponto
, seguido pela porção da parábola de equação
de
a
, que por sua vez é seguida pelo segmento de reta do ponto
a
.
Passo 1
O que o enunciado pede e as informações dadas:
- Pede-se calcular a integral de linha
. - O campo vetorial é
. Ou seja, e . - A curva
é composta por três trechos encadeados (na ordem indicada): - Segmento de reta de
até . - Porção da parábola
de a (vai de até ). - Segmento de reta de
até .
- Segmento de reta de
- A integral pedida é a soma das integrais nos três trechos (orientados na ordem acima).
Passo 2
Fórmula e ideia para resolver (passo-a-passo didático):
- Para um campo bidimensional
e uma curva orientada dada por com em , a integral de linha é
- Em palavras: substitui-se
no e no , calcula-se e e integra-se o somatório . - Vamos aplicar isto trecho a trecho, parametrizando cada segmento de forma simples (intervalo
a para retas, e igual a para a parábola).
Passo 3
Parametrização e integral do trecho 1 (segmento de
a
):
- Parametrização linear conveniente: para
,
- Derivadas:
. - Substituindo em
e :
Calculemos passo a passo:
portanto
- O integrando
é
Agora simplificar termo a termo:
soma:
- Integral no trecho 1:
Passo 4
Cálculo explícito da integral do trecho 1:
Portanto a contribuição do primeiro segmento é
.
Passo 5
Parametrização e integral do trecho 2 (parábola
de
a
):
- Parametrização natural: tome
, com . Então
- Substituindo em
e :
- O integrando é
- Observação importante (simetria): a função
é ímpar, isto é . Integrar uma função ímpar em um intervalo simétrico dá zero:
Portanto a contribuição do trecho 2 é
.
Passo 6
Parametrização e integral do trecho 3 (segmento de
a
):
- Parametrização linear para
:
- Derivadas:
. - Substituindo:
então
E
.
- Integral no trecho 3:
Portanto a contribuição do terceiro segmento é
.
Passo 7
Soma das contribuições dos três trechos: