Seja A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3} uma matriz quadrada de ordem 3, onde cada termo é dado pela lei a_{i j}=\left\{\begin{array}{lll}-i+j, & \text { se } i+j \text { é par } \\\ i-j, & \text { se } i+j \text { é impar }\end{array}\right.éé.
Pode-se afirmar que o valor de \operatorname{det} A é
(e) - 4 .

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada A=(a_{ij})_{3\times3}\) com índices \(i,j\in\{1,2,3\}\) e elemento \[a_{ij}=\begin{cases} -i+j, & \text{se } i+j \text{ é par},\\[4pt] i-j, & \text{se } i+j \text{ é ímpar}. \end{cases}
A pergunta é: calcular (\det A].
Lista das informações relevantes fornecidas:
  • A é de ordem 3 (ou seja, 3\times3).
  • A definição de a_{ij} depende da paridade de i+j.
  • Pedido: o valor de \det A.]

Passo 2

Vamos calcular cada entrada a_{ij} aplicando a regra dada (a paridade de i+j é a mesma que a de j+i, portanto a regra é consistente ao trocar índices).
Calculemos linha a linha:
Para i=1:
\begin{aligned} a_{11} &: i+j=1+1=2 \text{ (par)} \Rightarrow a_{11}=-1+1=0,\\\ a_{12} &: i+j=1+2=3 \text{ (ímpar)} \Rightarrow a_{12}=1-2=-1,\\\ a_{13} &: i+j=1+3=4 \text{ (par)} \Rightarrow a_{13}=-1+3=2. \end{aligned}í
Para i=2:
\begin{aligned} a_{21} &: i+j=2+1=3 \text{ (ímpar)} \Rightarrow a_{21}=2-1=1,\\\ a_{22} &: i+j=2+2=4 \text{ (par)} \Rightarrow a_{22}=-2+2=0,\\\ a_{23} &: i+j=2+3=5 \text{ (ímpar)} \Rightarrow a_{23}=2-3=-1. \end{aligned}íí
Para i=3:
\begin{aligned} a_{31} &: i+j=3+1=4 \text{ (par)} \Rightarrow a_{31}=-3+1=-2,\\\ a_{32} &: i+j=3+2=5 \text{ (ímpar)} \Rightarrow a_{32}=3-2=1,\\\ a_{33} &: i+j=3+3=6 \text{ (par)} \Rightarrow a_{33}=-3+3=0. \end{aligned}í

Passo 3

Montando a matriz com os valores calculados:
A=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 2\\[4pt] 1 & 0 & -1\\[4pt] -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Observação importante (propriedade estrutural): verificar se A é antissimétrica (skew-symmetric), isto é, se vale a_{ji}=-a_{ij} para todos i,j.
Verificação genérica usando a definição:
  • Se i+j é par, então a_{ij}=-i+j. Como j+i também é par, tem-se a_{ji}=-j+i. Note que
a_{ji}=-j+i=-( -i+j )=-a_{ij}.
  • Se i+j é ímpar, então a_{ij}=i-j. Como j+i também é ímpar, tem-se (a_{ji}=j-i=-(i-j)=-a_{ij}.
    ]
Portanto, em ambos os casos a_{ji}=-a_{ij}. Logo A^T=-A e A é antissimétrica (os elementos da diagonal são zero, como já vimos).)

Passo 5

Agora uso propriedades de determinante para matrizes antissimétricas de ordem ímpar:
Propriedades usadas:
  • Para toda matriz quadrada M de ordem n vale \det(M^T)=\det(M).
  • Para todo escalar c e matriz M de ordem n vale \det(cM)=c^{n}\det(M).
Aplicando ao nosso caso: como A^T=-A,
\det(A)=\det(A^T)=\det(-A).
Mas \det(-A)=(-1)^{3}\det(A)=-\det(A), porque n=3 é ímpar. Assim
\det(A)= -\det(A).
Somando \det(A) aos dois lados obtemos 2\det(A)=0, ou seja, \det(A)=0.
(Como confirmação — sem pular etapas — pode-se também calcular diretamente por Sarrus para a matriz dada:
\det A =0\cdot0\cdot0+(-1)\cdot(-1)\cdot(-2)+2\cdot1\cdot1 - \big(2\cdot0\cdot(-2)+0\cdot(-1)\cdot1+(-1)\cdot1\cdot0\big) =0+(-2)+2-0=0,
o que confirma o resultado anterior.)

Resposta

0

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