Calcule \int_{C} \vec{F} . d r, onde \vec{F}(x, y)=\left(y e^{x}+\right. seny ) \mathbf{i}+\left(e^{x}+x \operatorname{cosy}+2 y\right) \mathbf{j} e C é a curva parametrizada por \vec{r}(t)=t^{4} \mathbf{i}+\cos (\pi t) \mathbf{j}, 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo.
  • Campo vetorial:
\vec{F}(x,y)=\bigl(y e^{x}+\sin y\bigr)\mathbf{i}+\bigl(e^{x}+x\cos y+2y\bigr)\mathbf{j}.
  • Curva parametrizada:
\vec{r}(t)=t^{4}\mathbf{i}+\cos(\pi t)\mathbf{j},\qquad 0\le t\le1.
  • O que se pede: calcular a integral de linha
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r},
onde C é a curva descrita por \vec{r}(t) no intervalo dado.

Passo 2

Rápida lembrança do que é a integral de linha (para me orientar na prova): se a curva é dada por \vec{r}(t)=(x(t),y(t)) para a\le t\le b, então a integral de linha do campo \vec{F}=(P,Q) é
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\bigl(P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)\bigr)\,dt.
Esse é o método direto pelo qual se calcula a integral usando a parametrização. Mas há um atalho precioso quando o campo é conservativo: aí a integral depende apenas dos valores de uma potencial nos extremos da curva. Vamos verificar se podemos usar esse atalho (ele economiza muito tempo na prova).

Passo 3

Identificar as componentes P e Q do campo e verificar se o campo é conservativo (ou seja, se existe uma função potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\vec{F}).
  • P(x,y)=y e^{x}+\sin y.
  • Q(x,y)=e^{x}+x\cos y+2y.
Calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y e^{x}+\sin y\bigr)=e^{x}+\cos y,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}+x\cos y+2y\bigr)=e^{x}+\cos y.
Como
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},
e as funções envolvidas são C^{1} em toda a reta \mathbb{R}^2 (domínio simplesmente conexo), o campo \vec{F} é conservativo. Logo existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\vec{F}.

Passo 4

Explicação didática do uso do potencial (o atalho): se \vec{F}=\nabla\varphi em um domínio simplesmente conexo, então para qualquer curva C orientada de \vec{r}(a) até \vec{r}(b) vale
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi\bigl(\vec{r}(b)\bigr)-\varphi\bigl(\vec{r}(a)\bigr).
Isto significa que, ao invés de fazer a integral direta em t, basta encontrar \varphi e avaliar nos pontos finais da parametrização. Isso é muito útil em provas porque reduz trabalho e risco de erro.

Passo 5

Encontrar a função potencial \varphi(x,y). Como \partial\varphi/\partial x=P, integro P em relação a x tratando y como constante:
\varphi(x,y)=\int\bigl(y e^{x}+\sin y\bigr)\,dx = y e^{x}+x\sin y + g(y),
onde g(y) é uma função “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 6

Determinar g(y) usando a condição \partial\varphi/\partial y=Q. Calculo \partial\varphi/\partial y a partir da expressão obtida:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=e^{x}+x\cos y + g'(y).
Igualando a Q(x,y)=e^{x}+x\cos y+2y obtém-se
e^{x}+x\cos y + g'(y)=e^{x}+x\cos y+2y \quad\Rightarrow\quad g'(y)=2y.
Integrando g'(y):
g(y)=\int 2y\,dy = y^{2}+C,
onde C é constante arbitrária (vai se cancelar na diferença final). Portanto uma função potencial válida é
\varphi(x,y)=y e^{x}+x\sin y + y^{2}.

Passo 7

Calcular os pontos extremos da curva C usando a parametrização \vec{r}(t):
\vec{r}(0)=\bigl(0^{4},\cos(\pi\cdot0)\bigr)=(0,\cos 0)=(0,1),
\vec{r}(1)=\bigl(1^{4},\cos(\pi\cdot1)\bigr)=(1,\cos\pi)=(1,-1).

Passo 8

Avaliar a potencial \varphi nesses pontos.
Primeiro \varphi\bigl(\vec{r}(1)\bigr)=\varphi(1,-1):
\varphi(1,-1)=(-1)e^{1}+1\cdot\sin(-1)+(-1)^{2} = -e -\sin 1 +1.
Observação: usei \sin(-1)=-\sin 1.
Depois \varphi\bigl(\vec{r}(0)\bigr)=\varphi(0,1):
\varphi(0,1)=1\cdot e^{0}+0\cdot\sin 1 + 1^{2} = 1 + 0 +1 = 2.

Passo 9

Aplicar o teorema do gradiente (diferença das potenciais nos extremos):
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi\bigl(\vec{r}(1)\bigr)-\varphi\bigl(\vec{r}(0)\bigr)=\bigl(-e-\sin 1+1\bigr)-2.
Simplificando:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=-e-\sin 1-1.

Resposta

-e-\sin 1-1

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