Calcule
, onde
seny
e
é a curva parametrizada por
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo.
- Campo vetorial:
- Curva parametrizada:
- O que se pede: calcular a integral de linha
onde
é a curva descrita por
no intervalo dado.
Passo 2
Rápida lembrança do que é a integral de linha (para me orientar na prova): se a curva é dada por
para
, então a integral de linha do campo
é
Esse é o método direto pelo qual se calcula a integral usando a parametrização. Mas há um atalho precioso quando o campo é conservativo: aí a integral depende apenas dos valores de uma potencial nos extremos da curva. Vamos verificar se podemos usar esse atalho (ele economiza muito tempo na prova).
Passo 3
Identificar as componentes
e
do campo e verificar se o campo é conservativo (ou seja, se existe uma função potencial
tal que
).
-
. -
.
Calcular as derivadas parciais:
Como
e as funções envolvidas são
em toda a reta
(domínio simplesmente conexo), o campo
é conservativo. Logo existe uma função potencial
tal que
.
Passo 4
Explicação didática do uso do potencial (o atalho): se
em um domínio simplesmente conexo, então para qualquer curva
orientada de
até
vale
Isto significa que, ao invés de fazer a integral direta em
, basta encontrar
e avaliar nos pontos finais da parametrização. Isso é muito útil em provas porque reduz trabalho e risco de erro.
Passo 5
Encontrar a função potencial
. Como
, integro
em relação a
tratando
como constante:
onde
é uma função “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 6
Determinar
usando a condição
. Calculo
a partir da expressão obtida:
Igualando a
obtém-se
Integrando
:
onde
é constante arbitrária (vai se cancelar na diferença final). Portanto uma função potencial válida é
Passo 7
Calcular os pontos extremos da curva
usando a parametrização
:
Passo 8
Avaliar a potencial
nesses pontos.
Primeiro
:
Observação: usei
.
Depois
:
Passo 9
Aplicar o teorema do gradiente (diferença das potenciais nos extremos):
Simplificando: