O plano normal de uma curva C em um ponto P é determinado pelos vetores normal e binormal, N e B, no ponto P. Determine o plano normal da curva \vec{r}(t)=\left\langle t^{2}, 2 t, \ln t\right\rangle no ponto ( 1,2,0 ).

Passo 1

O enunciado dá a curva
\vec{r}(t)=\left\langle t^{2},\,2t,\,\ln t\right\rangle
e pede: determinar o plano normal da curva no ponto (1,2,0).
Informações relevantes fornecidas:
  • A curva está dada por \vec{r}(t).
  • O ponto onde queremos o plano é (1,2,0).
  • A função \ln t exige t>0, portanto só consideramos t positivos.
  • O enunciado menciona que o plano normal é o plano determinado pelos vetores normal N e binormal B no ponto pedido.
O que é pedido (de forma objetiva):
  • Obter a equação do plano normal da curva em P=(1,2,0), isto é, o plano que contém N e B naquele ponto.

Passo 2

Primeiro temos que achar o parâmetro t_0 tal que \vec{r}(t_0)=(1,2,0). Isso significa resolver o sistema das coordenadas:
t_0^2=1,\qquad 2t_0=2,\qquad \ln t_0=0.
Das equações acima, da segunda vem t_0=1. Verificando nas outras: 1^2=1 e \ln 1=0. Portanto o ponto corresponde a
t_0=1.

Passo 3

Vamos calcular a derivada primeira (vetor tangente não normalizado) e a derivada segunda:
\vec{r}\,'(t)=\left\langle 2t,\,2,\,\frac{1}{t}\right\rangle, \qquad \vec{r}\,''(t)=\left\langle 2,\,0,\,-\frac{1}{t^{2}}\right\rangle.
Em t_0=1 obtemos:
\vec{r}\,'(1)=\left\langle 2,\,2,\,1\right\rangle, \qquad \vec{r}\,''(1)=\left\langle 2,\,0,\,-1\right\rangle.
Breve explicação teórica (essencial para a prova): o plano normal da curva em um ponto é o plano perpendicular à direção tangente da curva nesse ponto. Em termos de vetores: o vetor tangente \vec{T} (ou qualquer múltiplo não-nulo de \vec{r}\,') é normal ao plano normal; e o próprio plano normal é o espaço gerado por N e B. Assim, uma maneira simples de obter a equação do plano normal é usar \vec{r}\,'(t_0) como vetor normal ao plano.

Passo 4

Usando a ideia acima, tomamos \vec{n}=\vec{r}\,'(1)=\langle 2,2,1\rangle como vetor normal do plano. A equação cartesiana do plano que passa por P=(1,2,0) com vetor normal \vec{n}=(a,b,c) é
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Substituindo a=2, b=2, c=1 e x_0=1, y_0=2, z_0=0, obtemos
2(x-1)+2(y-2)+1(z-0)=0.
Desenvolvendo:
2x-2+2y-4+z=0\quad\Longrightarrow\quad 2x+2y+z-6=0.
Ou, equivalentemente,
2x+2y+z=6.

Passo 5

Para ficar 100% seguro (e para treinar cálculo vetorial para a prova), vamos também calcular explicitamente os vetores unitários \vec{T}, \vec{B} e \vec{N} em t=1 e verificar que \vec{N} e \vec{B} pertencem ao plano encontrado.
  1. Vetor tangente unitário em t=1:
\|\vec{r}\,'(1)\|=\sqrt{2^{2}+2^{2}+1^{2}}=\sqrt{9}=3,
\vec{T}(1)=\frac{\vec{r}\,'(1)}{\|\vec{r}\,'(1)\|}=\left\langle \tfrac{2}{3},\,\tfrac{2}{3},\,\tfrac{1}{3}\right\rangle.
  1. Vetor binormal (primeiro calcu­lamos \vec{r}\,'(1)\times\vec{r}\,''(1)):
\vec{r}\,'(1)\times\vec{r}\,''(1)= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & 2 & 1 \\\\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix} =\langle -2,\,4,\,-4\rangle.
O módulo desse vetor é \sqrt{(-2)^{2}+4^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{36}=6. Então o binormal unitário é
\vec{B}(1)=\frac{1}{6}\langle -2,\,4,\,-4\rangle=\left\langle -\tfrac{1}{3},\,\tfrac{2}{3},\,-\tfrac{2}{3}\right\rangle.
  1. Vetor normal unitário (usando \vec{N}=\vec{B}\times\vec{T}):
\vec{N}(1)=\vec{B}(1)\times\vec{T}(1)=\left\langle \tfrac{2}{3},\,-\tfrac{1}{3},\,-\tfrac{2}{3}\right\rangle.
(Verificação rápida: \|\vec{N}(1)\|=1.)

Passo 6

Verificação de que \vec{N}(1) e \vec{B}(1) pertencem ao plano 2x+2y+z=6: basta checar que o vetor diretor que vai do ponto P a P+\vec{N}(1) é ortogonal a \vec{T}(1) (ou que \vec{T}(1)\cdot\vec{N}(1)=0), e o mesmo para \vec{B}(1). De fato:
\vec{T}(1)\cdot\vec{N}(1)=\left\langle \tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\right\rangle\cdot\left\langle \tfrac{2}{3},-\tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{3}\right\rangle =\tfrac{4}{9}-\tfrac{2}{9}-\tfrac{2}{9}=0,
\vec{T}(1)\cdot\vec{B}(1)=\left\langle \tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\right\rangle\cdot\left\langle -\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3}\right\rangle =-\tfrac{2}{9}+\tfrac{4}{9}-\tfrac{2}{9}=0.
Esses zeros confirmam que \vec{N}(1) e \vec{B}(1) são perpendiculares a \vec{T}(1), logo ambos estão contidos no plano cujo normal é \vec{T}(1). Isso confirma que o plano 2x+2y+z=6 é de fato o plano normal desejado.

Resposta

2x+2y+z=6

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