O plano normal de uma curva C em um ponto P é determinado pelos vetores normal e binormal, N e B, no ponto P. Determine o plano normal da curva \vec{r}(t)=\left\langle t^{2}, 2 t, \ln t\right\rangle no ponto ( 1,2,0 ).
Breve explicação teórica (essencial para a prova): o plano normal da curva em um ponto é o plano perpendicular à direção tangente da curva nesse ponto. Em termos de vetores: o vetor tangente \vec{T} (ou qualquer múltiplo não-nulo de \vec{r}\,') é normal ao plano normal; e o próprio plano normal é o espaço gerado por N e B. Assim, uma maneira simples de obter a equação do plano normal é usar \vec{r}\,'(t_0) como vetor normal ao plano.
Passo 4
Usando a ideia acima, tomamos \vec{n}=\vec{r}\,'(1)=\langle 2,2,1\rangle como vetor normal do plano. A equação cartesiana do plano que passa por P=(1,2,0) com vetor normal \vec{n}=(a,b,c) é
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Substituindo a=2, b=2, c=1 e x_0=1, y_0=2, z_0=0, obtemos
Para ficar 100% seguro (e para treinar cálculo vetorial para a prova), vamos também calcular explicitamente os vetores unitários \vec{T}, \vec{B} e \vec{N} em t=1 e verificar que \vec{N} e \vec{B} pertencem ao plano encontrado.
Verificação de que \vec{N}(1) e \vec{B}(1) pertencem ao plano 2x+2y+z=6: basta checar que o vetor diretor que vai do ponto P a P+\vec{N}(1) é ortogonal a \vec{T}(1) (ou que \vec{T}(1)\cdot\vec{N}(1)=0), e o mesmo para \vec{B}(1). De fato:
Esses zeros confirmam que \vec{N}(1) e \vec{B}(1) são perpendiculares a \vec{T}(1), logo ambos estão contidos no plano cujo normal é \vec{T}(1). Isso confirma que o plano 2x+2y+z=6 é de fato o plano normal desejado.