Determine o trabalho realizado pelo campo de força
sobre uma partícula que se move ao longo da semicircunferência
. Suponha que o arco seja medido em metros e a força seja medida em Newton.
Passo 1
O enunciado pede o trabalho realizado pelo campo de força sobre uma partícula que se move ao longo da semicircunferência dada. Vou listar claramente o que é fornecido e o que se pede.
- Campo de força:
. Ou seja, e . - Curva: semicircunferência
. Isso é um arco de círculo de raio centrado na origem, apenas a metade superior. - Orientação: o enunciado apresenta a integral como
. Interpreto o expoente “ ” como indicar sentido negativo (horário) ao longo do arco. Portanto o arco será percorrido no sentido horário ao longo da semicircunferência superior. - Unidade: arcos medidos em metros e força em newtons, então o trabalho sairá em joules (N·m).
- O que se pede: calcular o trabalho
sobre a semicircunferência indicada com orientação horária (negativa).
Passo 2
Escolha do método e observações iniciais (aulas rápidas e intuitivas).
- Para calcular o trabalho usamos a definição de integral de linha de um campo no plano:
onde
e
são as componentes de
.
- Há duas abordagens comuns:
- Verificar se
é campo conservativo (então o trabalho depende só dos extremos e é mais simples). - Fazer uma parametrização da curva e calcular diretamente
.
- Verificar se
- Primeiro vou testar se
é conservativo: para campos no plano um teste rápido é checar se (em uma região simplesmente conexa). -
-
- Como
em geral, o campo NÃO é conservativo. Portanto o trabalho depende do caminho e precisamos parametrizar o arco e calcular diretamente a integral de linha.
-
Passo 3
Parametrização da semicircunferência com a orientação pedida e cálculo de
.
- Uma parametrização natural da circunferência de raio
é
- A semicircunferência superior corresponde a
variando entre e . Esse intervalo com crescendo descreve o arco no sentido anti-horário (de para ). Como precisamos do sentido horário (negativo), usamos decrescendo de até . Assim escolhemos o intervalo
- Derivadas:
e
Passo 4
Escrever a integral de linha parametricamente e montar o integrando.
- A integral é
- Substituindo
e e as componentes de :
- Agora
vale
Passo 5
Calcular a integral definida.
- Temos
- Troco os limites para integrar de
a : trocar limites muda o sinal:
- Faço a substituição simples
. Então , logo . - Quando
, . - Quando
, .
- Quando
- Substituindo:
- Simplificando os sinais e limites:
- Calculo a integral de
de a :
- Multiplicando pelo
:
Passo 6
Interpretação final e unidade.
- O resultado é positivo:
. Em unidades, trabalho tem unidades de força vezes distância, logo joules (J) ou newton·metro (N·m). - Portanto o trabalho realizado pelo campo, ao longo do arco superior com orientação horária, é
.