Determine o trabalho realizado pelo campo de força \vec{F}(x, y)=<x^{2},-x y> sobre uma partícula que se move ao longo da semicircunferência x^{2}+y^{2}=4, y \geq 0. Suponha que o arco seja medido em metros e a força seja medida em Newton.
w=\int_{c}^{-} \vec{F} \cdot d r

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pelo campo de força sobre uma partícula que se move ao longo da semicircunferência dada. Vou listar claramente o que é fornecido e o que se pede.
  • Campo de força: \vec{F}(x,y)=\langle x^{2},-x y\rangle. Ou seja, P(x,y)=x^{2} e Q(x,y)=-x y.
  • Curva: semicircunferência \;x^{2}+y^{2}=4,\; y\ge 0. Isso é um arco de círculo de raio 2 centrado na origem, apenas a metade superior.
  • Orientação: o enunciado apresenta a integral como \displaystyle w=\int_{c}^{-}\vec{F}\cdot d r. Interpreto o expoente “ -” como indicar sentido negativo (horário) ao longo do arco. Portanto o arco será percorrido no sentido horário ao longo da semicircunferência superior.
  • Unidade: arcos medidos em metros e força em newtons, então o trabalho sairá em joules (N·m).
  • O que se pede: calcular o trabalho
w=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec r,
sobre a semicircunferência indicada com orientação horária (negativa).

Passo 2

Escolha do método e observações iniciais (aulas rápidas e intuitivas).
  • Para calcular o trabalho usamos a definição de integral de linha de um campo no plano:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec r=\int_{C} P\,dx + Q\,dy,
onde P e Q são as componentes de \vec F.
  • Há duas abordagens comuns:
    1. Verificar se \vec F é campo conservativo (então o trabalho depende só dos extremos e é mais simples).
    2. Fazer uma parametrização da curva e calcular diretamente \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \vec F(\vec r(t))\cdot \vec r\,'(t)\,dt.
  • Primeiro vou testar se \vec F é conservativo: para campos no plano um teste rápido é checar se \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x (em uma região simplesmente conexa).
    • \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2})=0.
    • \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(-x y)=-y.
    • Como 0\neq -y em geral, o campo NÃO é conservativo. Portanto o trabalho depende do caminho e precisamos parametrizar o arco e calcular diretamente a integral de linha.

Passo 3

Parametrização da semicircunferência com a orientação pedida e cálculo de dx,dy.
  • Uma parametrização natural da circunferência de raio 2 é
x(t)=2\cos t,\qquad y(t)=2\sin t.
  • A semicircunferência superior corresponde a t variando entre 0 e \pi. Esse intervalo com t crescendo descreve o arco no sentido anti-horário (de (2,0) para (-2,0)). Como precisamos do sentido horário (negativo), usamos t decrescendo de \pi até 0. Assim escolhemos o intervalo
t\in[\pi,0].
  • Derivadas:
x'(t)=-2\sin t,\qquad y'(t)=2\cos t,
e
d\vec r=(dx,dy)=(x'(t),y'(t))\,dt=(-2\sin t,\,2\cos t)\,dt.

Passo 4

Escrever a integral de linha parametricamente e montar o integrando.
  • A integral é
w=\int_{C}\vec F\cdot d\vec r=\int_{t=\pi}^{0} \vec F(x(t),y(t))\cdot (x'(t),y'(t))\,dt.
  • Substituindo x(t)=2\cos t e y(t)=2\sin t e as componentes de \vec F:
P(x(t),y(t))=x(t)^{2}=(2\cos t)^{2}=4\cos^{2}t,
Q(x(t),y(t))=-x(t)y(t)=-(2\cos t)(2\sin t)=-4\cos t\sin t.
  • Agora \vec F\cdot d\vec r = P\,dx + Q\,dy vale
\begin{aligned} \vec F\cdot d\vec r &= \big(4\cos^{2}t\big)\cdot\big(-2\sin t\,dt\big) + \big(-4\cos t\sin t\big)\cdot\big(2\cos t\,dt\big)\\[4pt] &= -8\cos^{2}t\sin t\,dt \;+\; (-8\cos^{2}t\sin t)\,dt\\[4pt] &= -16\cos^{2}t\sin t\,dt. \end{aligned}]

Passo 5

Calcular a integral definida.
  • Temos
w=\int_{t=\pi}^{0} -16\cos^{2}t\sin t\,dt.
  • Troco os limites para integrar de 0 a \pi: trocar limites muda o sinal:
w=\int_{0}^{\pi} 16\cos^{2}t\sin t\,dt.
  • Faço a substituição simples \;u=\cos t\;. Então \;du=-\sin t\,dt, logo \sin t\,dt=-du.
    • Quando t=0, u=\cos 0=1.
    • Quando t=\pi, u=\cos\pi=-1.
  • Substituindo:
\int_{0}^{\pi} 16\cos^{2}t\sin t\,dt =16\int_{t=0}^{t=\pi} \cos^{2}t\sin t\,dt =16\int_{u=1}^{u=-1} u^{2}(-du).
  • Simplificando os sinais e limites:
16\int_{u=1}^{u=-1} u^{2}(-du) = 16\int_{u=-1}^{u=1} u^{2}\,du.
  • Calculo a integral de u^{2} de -1 a 1:
\int_{-1}^{1} u^{2}\,du=\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{-1}^{1}=\frac{1^{3}}{3}-\frac{(-1)^{3}}{3}=\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}.
  • Multiplicando pelo 16:
w=16\cdot\frac{2}{3}=\frac{32}{3}.

Passo 6

Interpretação final e unidade.
  • O resultado é positivo: \dfrac{32}{3}. Em unidades, trabalho tem unidades de força vezes distância, logo joules (J) ou newton·metro (N·m).
  • Portanto o trabalho realizado pelo campo, ao longo do arco superior com orientação horária, é \dfrac{32}{3}\\ \text{J}.

Resposta

\displaystyle \frac{32}{3}\\ \text{J}

Exercícios relacionados