Calcule.
\int x^{3} e{x{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int x^{3}e^{x^{2}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por substituição e, a seguir, uma pequena parte de integração por partes.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2}, \quad du = 2x\,dx \;\Longrightarrow\; x\,dx = \frac{du}{2}.
Reescrevendo x^{3}e^{x^{2}}\,dx = x^{2}\bigl(x\,dx\bigr)e^{x^{2}}, temos
\int x^{3}e^{x^{2}}\,dx = \int u\,e^{u}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int u\,e^{u}\,du.

Passo 3

Para calcular \int u\,e^{u}\,du usamos integração por partes. Escolhemos
A = u,\quad dB = e^{u}\,du \quad\Longrightarrow\quad dA = du,\quad B = e^{u}.
Logo,
\int u\,e^{u}\,du = u\,e^{u} - \int e^{u}\,du = u\,e^{u} - e^{u} + C.

Passo 4

Voltando à constante \tfrac12 e à substituição u=x^{2}, obtemos
\int x^{3}e^{x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\bigl(u\,e^{u} - e^{u}\bigr) + C = \frac{1}{2}e^{u}(u - 1) + C = \frac{1}{2}e^{x^{2}}\bigl(x^{2}-1\bigr) + C.

Resposta

\int x^{3}e^{x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}e^{x^{2}}\bigl(x^{2}-1\bigr) + C.

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