Calcule.
\int e^{-2 x} \sin x d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva da integral
\int e^{-2x}\sin x\,dx.
O método mais direto aqui é usar integração por partes repetida, pois temos o produto de uma exponencial e uma função trigonométrica.

Passo 2

Definimos
I = \int e^{-2x}\sin x\,dx
e escolhemos em I
u = \sin x,\quad dv = e^{-2x}\,dx.
Então
du = \cos x\,dx, \quad v = \int e^{-2x}\,dx = -\tfrac12 e^{-2x}.
Pela fórmula de integração por partes,
I = u\,v - \int v\,du = -\tfrac12 e^{-2x}\sin x - \int\bigl(-\tfrac12 e^{-2x}\bigr)\cos x\,dx = -\tfrac12 e^{-2x}\sin x + \tfrac12\int e^{-2x}\cos x\,dx.
Chamemos
J = \int e^{-2x}\cos x\,dx.

Passo 3

Para calcular J, aplicamos integração por partes novamente definindo
u = \cos x,\quad dv = e^{-2x}\,dx,
logo
du = -\sin x\,dx, \quad v = -\tfrac12 e^{-2x}.
Assim
J = u\,v - \int v\,du = -\tfrac12 e^{-2x}\cos x - \int\bigl(-\tfrac12 e^{-2x}\bigr)(-\,\sin x)\,dx = -\tfrac12 e^{-2x}\cos x \;-\;\tfrac12\int e^{-2x}\sin x\,dx.
Em outras palavras,
J = -\tfrac12 e^{-2x}\cos x - \tfrac12\,I.

Passo 4

Voltando para a expressão de I:
I = -\tfrac12 e^{-2x}\sin x + \tfrac12\,J = -\tfrac12 e^{-2x}\sin x + \tfrac12\Bigl(-\tfrac12 e^{-2x}\cos x - \tfrac12 I\Bigr).
Isso é
I = -\tfrac12 e^{-2x}\sin x - \tfrac14 e^{-2x}\cos x - \tfrac14 I.
Somando \tfrac14 I aos dois lados,
\tfrac54\,I = -\tfrac12 e^{-2x}\sin x - \tfrac14 e^{-2x}\cos x \quad\Longrightarrow\quad I = -\tfrac{4}{5}\,\bigl(\tfrac12 e^{-2x}\sin x\bigr)\;-\;\tfrac{4}{5}\,\bigl(\tfrac14 e^{-2x}\cos x\bigr).
Simplificando os fatores,
I = -\tfrac{2}{5}e^{-2x}\sin x - \tfrac{1}{5}e^{-2x}\cos x + C.

Resposta

\int e^{-2x}\sin x\,dx = -\frac{e^{-2x}}{5}\,\bigl(2\sin x + \cos x\bigr) + C.

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