Calcule.
\int e^{-x} \cos 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
I = \int e^{-x}\cos(2x)\,dx.
O conteúdo envolve a técnica de integração por partes aplicada duas vezes, pois temos o produto de uma exponencial e um cosseno.

Passo 2

Definimos
I = \int e^{-x}\cos(2x)\,dx
e aplicamos integração por partes tomando u = \cos(2x), dv = e^{-x}dx.
Então du = -2\sin(2x)\,dx
e v = \int e^{-x}dx = -e^{-x}.
Pela fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du, obtemos
I = -e^{-x}\cos(2x) - 2\int e^{-x}\sin(2x)\,dx.
Chamemos
J = \int e^{-x}\sin(2x)\,dx.
Então
I = -e^{-x}\cos(2x) - 2J.

Passo 3

Para calcular J, repetimos a integração por partes com u = \sin(2x), dv = e^{-x}dx.
Assim du = 2\cos(2x)\,dx
e v = -e^{-x}.
Logo
J = -e^{-x}\sin(2x) - \int \bigl(-e^{-x}\bigr)\,2\cos(2x)\,dx = -e^{-x}\sin(2x) + 2\int e^{-x}\cos(2x)\,dx.
Reconhecemos que \int e^{-x}\cos(2x)\,dx = I, portanto
J = -e^{-x}\sin(2x) + 2I.

Passo 4

Substituindo J em I = -e^{-x}\cos(2x) - 2J, temos
I = -e^{-x}\cos(2x) - 2\bigl(-e^{-x}\sin(2x) + 2I\bigr) = -e^{-x}\cos(2x) + 2e^{-x}\sin(2x) - 4I.
Isolando I,
I + 4I = 5I = e^{-x}\bigl(-\cos(2x) + 2\sin(2x)\bigr),
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I = \frac{e^{-x}}{5}\bigl(2\sin(2x)-\cos(2x)\bigr) + C.

Resposta

\int e^{-x}\cos(2x)\,dx = \frac{e^{-x}}{5}\bigl(2\sin(2x)-\cos(2x)\bigr) + C.

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