Calcule \int_{0}^{2} x^{2} e^{2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
I = \int_{0}^{2} x^{2} e^{2x}\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por partes, pois temos um polinômio x^2 multiplicando uma exponencial e^{2x}. Vamos usar a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
duas vezes para encontrar a primitiva de x^2 e^{2x}.

Passo 2

Primeira aplicação de integração por partes. Escolhemos
u = x^2,\quad dv = e^{2x}\,dx
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du = 2x\,dx,\quad v = \frac{e^{2x}}{2}.
Então
\int x^2 e^{2x}\,dx = x^2\cdot\frac{e^{2x}}{2} - \int \frac{e^{2x}}{2}\cdot 2x\,dx = \frac{x^2 e^{2x}}{2} - \int x e^{2x}\,dx.

Passo 3

Segunda aplicação de integração por partes para \int x e^{2x}\,dx. Agora
u = x,\quad dv = e^{2x}\,dx
e daí
du = dx,\quad v = \frac{e^{2x}}{2}.
Assim
\int x e^{2x}\,dx = x\cdot\frac{e^{2x}}{2} - \int \frac{e^{2x}}{2}\,dx = \frac{x e^{2x}}{2} - \frac{e^{2x}}{4} + C.
Substituindo de volta em \int x^2 e^{2x}\,dx:
\int x^2 e^{2x}\,dx = \frac{x^2 e^{2x}}{2} - \Bigl(\frac{x e^{2x}}{2} - \frac{e^{2x}}{4}\Bigr) + C = e^{2x}\Bigl(\frac{x^2}{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\Bigr) + C.

Passo 4

Agora avaliamos de 0 a 2:
I = \Bigl[e^{2x}\bigl(\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{x}{2}+\tfrac{1}{4}\bigr)\Bigr]_{0}^{2}.
Em x=2:
e^{4}\!\Bigl(\tfrac{2^2}{2}-\tfrac{2}{2}+\tfrac{1}{4}\Bigr) = e^{4}\!\Bigl(2-1+\tfrac{1}{4}\Bigr) = \tfrac{5}{4}e^{4}.
Em x=0:
e^{0}\!\Bigl(0-0+\tfrac{1}{4}\Bigr) = \tfrac{1}{4}.
Portanto
I = \frac{5}{4}e^{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\bigl(5e^{4}-1\bigr).

Resposta

\boxed{\frac{1}{4}\bigl(5e^{4}-1\bigr)}

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