Calcule:
\int(3-2 x)^{4} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int(3-2x)^{4}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é (3-2x)^{4}.
  • Trata-se de uma integral indefinida; o resultado deverá conter a constante de integração C.

Passo 2

Escolhemos o método de substituição (também chamado mudança de variável). Ideia rápida: quando a integranda é uma potência de uma expressão linear como 3-2x, é conveniente definir uma nova variável que seja essa expressão interna. Definimos
u = 3 - 2x.
Agora vamos relacionar du com dx. Derivando ambos os lados em relação a x,
\frac{du}{dx} = -2,
portanto
du = -2\,dx \quad\Rightarrow\quad dx = -\tfrac{1}{2}\,du.

Passo 3

Substituímos u e dx na integral original. A integranda (3-2x)^{4} vira u^{4} e dx vira -\tfrac{1}{2}\,du. Assim
\int (3-2x)^{4}\,dx = \int u^{4}\left(-\tfrac{1}{2}\,du\right).

Passo 4

Fatoramos a constante -\tfrac{1}{2} para fora da integral:
\int u^{4}\left(-\tfrac{1}{2}\,du\right) = -\tfrac{1}{2}\int u^{4}\,du.

Passo 5

Aplicamos a regra de potência para primitivas: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=4, então
\int u^{4}\,du = \frac{u^{5}}{5} + C.
Multiplicando pela constante -\tfrac{1}{2} obtemos
-\tfrac{1}{2}\cdot\frac{u^{5}}{5} + C = -\frac{u^{5}}{10} + C.

Passo 6

Voltamos à variável original substituindo u = 3-2x:
-\frac{u^{5}}{10} + C = -\frac{(3-2x)^{5}}{10} + C.

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando o resultado encontramos
\frac{d}{dx}\left(-\frac{(3-2x)^{5}}{10}\right) = -\frac{1}{10}\cdot 5(3-2x)^{4}\cdot(-2) = (3-2x)^{4},
que é exatamente a integranda. Logo a primitiva está correta. Força aí — está quase na prova!

Resposta

-\frac{(3-2x)^{5}}{10} + C

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