Calcule:
(a) \int_{0}^{1} x e^{2 x} d x
(b) \int x^{2} \ln (x) d x
(c) \int_{0}^{1} x^{2} e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de três integrais:
  • (a) a integral definida \displaystyle \int_{0}^{1} x e^{2x}\,dx.
  • (b) a integral indefinida \displaystyle \int x^{2}\ln(x)\,dx.
  • (c) a integral definida \displaystyle \int_{0}^{1} x^{2}e^{x}\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • Em (a) e (c) são integrais definidas com limites 0 e 1.
  • Em (b) é uma integral indefinida; a função \ln(x) exige x>0 (domínio de definição da primitiva que vamos obter).
  • Todas as expressões envolvem produtos de funções, então será necessário um método que trate produtos (isso será desenvolvido nos passos seguintes).

Passo 2

Conceito útil (fórmula que vou usar e que ensino como derivar): integração por partes. Ela vem da regra do produto para derivadas. Se u=u(x) e v=v(x) são funções diferenciáveis, então
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Integrando ambos os lados e rearranjando, obtém-se a fórmula
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde du=u'(x)\,dx e dv=v'(x)\,dx. Na prática, escolhe-se u como a parte que simplifica ao derivar, e dv como a parte que é fácil de integrar.
Agora aplico isso ao item (a).

Passo 3

Resolvendo (a): \displaystyle \int_{0}^{1} x e^{2x}\,dx.
  1. Escolha para integrar por partes:
  • u = x (porque ao derivar vira 1, simplifica),
  • dv = e^{2x}\,dx (fácil de integrar).
  1. Calcule du e v:
du = dx, \qquad v = \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x}.
(Explicação: integrar e^{2x} usa substituição simples t=2x, resultado \frac{1}{2}e^{2x}.)
  1. Aplique a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du:
\int x e^{2x}\,dx = x\cdot\frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x}\,dx = \frac{x}{2}e^{2x} - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}e^{2x} + C = e^{2x}\!\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\right)+C.
  1. Como é integral definida de 0 a 1, avalio a primitiva nos limites:
\int_{0}^{1} x e^{2x}\,dx = \left[\,e^{2x}\!\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\right)\right]_{0}^{1}.
Calcule os valores:
\text{em }x=1:\quad e^{2}\!\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)=e^{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{e^{2}}{4},
\text{em }x=0:\quad e^{0}\!\left(0-\frac{1}{4}\right)=-\frac{1}{4}.
Subtraindo:
\int_{0}^{1} x e^{2x}\,dx = \frac{e^{2}}{4} -\big(-\frac{1}{4}\big)=\frac{e^{2}+1}{4}.

Passo 4

Resolvendo (b): \displaystyle \int x^{2}\ln(x)\,dx (indefinida).
  1. Novamente uso integração por partes. Escolho
  • u=\ln(x) (pois sua derivada 1/x simplifica o produto),
  • dv = x^{2}\,dx (pois é fácil de integrar).
  1. Calcule du e v:
du=\frac{1}{x}\,dx, \qquad v=\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}.
  1. Aplique \int u\,dv = uv - \int v\,du:
\int x^{2}\ln(x)\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln(x) - \int \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln(x) - \frac{1}{3}\int x^{2}\,dx.
  1. Calcule a integral restante:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3},
portanto
\int x^{2}\ln(x)\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln(x) - \frac{1}{3}\cdot\frac{x^{3}}{3} + C = \frac{x^{3}}{3}\ln(x) - \frac{x^{3}}{9} + C.
Observação sobre domínio: essa primitiva está válida para x>0 devido ao \ln(x).

Passo 5

Resolvendo (c): \displaystyle \int_{0}^{1} x^{2}e^{x}\,dx.
  1. Integração por partes também funciona bem. Escolho
  • u = x^{2} (derivar reduz o grau do polinômio),
  • dv = e^{x}\,dx (fácil de integrar).
  1. Calcule du e v:
du = 2x\,dx, \qquad v = e^{x}.
  1. Aplique a fórmula:
\int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - \int e^{x}\cdot 2x\,dx = x^{2}e^{x} - 2\int x e^{x}\,dx.
  1. Agora é preciso calcular \int x e^{x}\,dx. Faço uma segunda integração por partes nesta integral:
  • Para \int x e^{x}\,dx escolho u=x, dv=e^{x}\,dx.
du=dx,\qquad v=e^{x},
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C.
  1. Substituindo de volta em (3):
\int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - 2\big(x e^{x}-e^{x}\big)+C = e^{x}\big(x^{2}-2x+2\big)+C.
  1. Avaliando a integral definida de 0 a 1:
\int_{0}^{1} x^{2}e^{x}\,dx = \left[\,e^{x}\big(x^{2}-2x+2\big)\right]_{0}^{1}.
Calcule nos extremos:
\text{em }x=1:\quad e^{1}\big(1-2+2\big)=e\cdot 1 = e,
\text{em }x=0:\quad e^{0}\big(0-0+2\big)=1\cdot 2 = 2.
Subtraindo,
\int_{0}^{1} x^{2}e^{x}\,dx = e - 2.

Resposta

\dfrac{e^{2}+1}{4}
\dfrac{x^{3}}{3}\ln(x)-\dfrac{x^{3}}{9}+C
e-2

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