Calcule:
(a)
(b)
(c)
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de três integrais:
- (a) a integral definida
. - (b) a integral indefinida
. - (c) a integral definida
.
Informações relevantes dadas:
- Em (a) e (c) são integrais definidas com limites
e . - Em (b) é uma integral indefinida; a função
exige (domínio de definição da primitiva que vamos obter). - Todas as expressões envolvem produtos de funções, então será necessário um método que trate produtos (isso será desenvolvido nos passos seguintes).
Passo 2
Conceito útil (fórmula que vou usar e que ensino como derivar): integração por partes. Ela vem da regra do produto para derivadas. Se
e
são funções diferenciáveis, então
Integrando ambos os lados e rearranjando, obtém-se a fórmula
onde
e
. Na prática, escolhe-se
como a parte que simplifica ao derivar, e
como a parte que é fácil de integrar.
Agora aplico isso ao item (a).
Passo 3
Resolvendo (a):
.
- Escolha para integrar por partes:
-
(porque ao derivar vira , simplifica), -
(fácil de integrar).
- Calcule
e :
(Explicação: integrar
usa substituição simples
, resultado
.)
- Aplique a fórmula
:
- Como é integral definida de
a , avalio a primitiva nos limites:
Calcule os valores:
Subtraindo:
Passo 4
Resolvendo (b):
(indefinida).
- Novamente uso integração por partes. Escolho
-
(pois sua derivada simplifica o produto), -
(pois é fácil de integrar).
- Calcule
e :
- Aplique
:
- Calcule a integral restante:
portanto
Observação sobre domínio: essa primitiva está válida para
devido ao
.
Passo 5
Resolvendo (c):
.
- Integração por partes também funciona bem. Escolho
-
(derivar reduz o grau do polinômio), -
(fácil de integrar).
- Calcule
e :
- Aplique a fórmula:
- Agora é preciso calcular
. Faço uma segunda integração por partes nesta integral:
- Para
escolho , .
- Substituindo de volta em (3):
- Avaliando a integral definida de
a :
Calcule nos extremos:
Subtraindo,