Use multiplicadores de Lagrange para determinar as dimensões de uma caixa retangular aberta no topo, com um volume de 32 \mathrm{~cm}^{3} e cuja construção requeira uma quantidade mínima de material.
Precisa-se minimizar a função área de superfície f(x, y, z)=x y+2 x z+2 y z sujeita à restrição de volume g(x, y, z)=x y z=32. Assim, \nabla f=(y+2 z) \vec{i}+(x+2 z) \vec{j}+(2 x+2 y) \vec{k} e \nabla g= y z \vec{i}+x z \vec{j}+x y \vec{k}. Vê-se que \nabla g \neq \overrightarrow{0} pois x, y e z não podem ser nulos na superfície x y z=32. Assim, podemos escrever
(y+2 z) \vec{i}+(x+2 z) \vec{j}+(2 x+2 y) \vec{k}=\lambda(y z \vec{i}+x z \vec{j}+x y \vec{k}) \Rightarrow y+2 z=\lambda y z, x+2 z=\lambda x z

Passo 1

O que o enunciado pede e o que já nos dão:
  • Pede-se determinar as dimensões de uma caixa retangular aberta (sem tampa) que tenha volume 32\\ \mathrm{cm}^3 e que use a menor quantidade possível de material (ou seja, minimizar a área da superfície da caixa aberta).
  • Variáveis: x e y são as dimensões da base retangular e z é a altura, todas em \mathrm{cm}.
  • Função a minimizar (área do material, caixa sem tampa):
f(x,y,z)=x y+2 x z+2 y z.
  • Restrição (volume fixo):
g(x,y,z)=x y z=32.
  • Informação útil já dada (gradientes):
\nabla f=(y+2z)\,\vec{i}+(x+2z)\,\vec{j}+(2x+2y)\,\vec{k}, \qquad \nabla g=yz\,\vec{i}+xz\,\vec{j}+xy\,\vec{k}.

Passo 2

Ideia dos multiplicadores de Lagrange (explicação didática):
  • Queremos encontrar extremos de f sujeitos à restrição g=32. A ideia é que, no ponto extremo sujeito à restrição, a superfície de nível de f é tangente à superfície dada por g=32. Isso se traduz na condição de que os gradientes são paralelos:
\nabla f=\lambda\,\nabla g,
onde \lambda é o multiplicador de Lagrange (um número real).
  • O gradiente \nabla f é o vetor de derivadas parciais \left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y},\dfrac{\partial f}{\partial z}\right). Ele aponta na direção de maior crescimento de f. A condição \nabla f=\lambda\nabla g diz que, nas direções permitidas pela restrição, não há variação linear de f — isso identifica candidatos a máximo ou mínimo.
  • Trabalhamos com as equações escalares obtidas ao igualar componentes correspondentes dos dois vetores gradiente.

Passo 3

Escrevendo as equações escalares (igualando componentes) e incluindo a restrição:
Das componentes temos
y+2z=\lambda\,yz,
x+2z=\lambda\,xz,
2x+2y=\lambda\,xy,
e a restrição
x y z=32.
Esse é o sistema a resolver para x,y,z,\lambda com x,y,z>0 (dimensões positivas).

Passo 4

Mostrar que x=y (simetria da base):
Compare as duas primeiras equações dividindo a primeira por yz e a segunda por xz (ou igualando as expressões de \lambda):
\lambda=\frac{y+2z}{yz}=\frac{1}{z}+\frac{2}{y}, \qquad \lambda=\frac{x+2z}{xz}=\frac{1}{z}+\frac{2}{x}.
Igualando-as:
\frac{1}{z}+\frac{2}{y}=\frac{1}{z}+\frac{2}{x}\quad\Rightarrow\quad \frac{2}{y}=\frac{2}{x}\quad\Rightarrow\quad x=y.
Intuição: como a área e a restrição são simétricas em x e y (trocar x por y não altera nada), o candidato ótimo terá a base quadrada.

Passo 5

Encontrar relação entre x e z:
Com x=y, a terceira equação fica
2x+2x=\lambda x^2 \quad\Rightarrow\quad 4x=\lambda x^2.
Como x>0, divide-se por x:
\lambda=\frac{4}{x}.
Usando a expressão da segunda componente (ou primeira) para \lambda, com x=y:
\lambda=\frac{x+2z}{xz}=\frac{1}{z}+\frac{2}{x}.
Igualando às duas expressões para \lambda:
\frac{4}{x}=\frac{1}{z}+\frac{2}{x}.
Subtraindo \dfrac{2}{x} de ambos os lados:
\frac{2}{x}=\frac{1}{z}\quad\Rightarrow\quad z=\frac{x}{2}.

Passo 6

Usar a restrição x y z=32 para obter x:
Como x=y e z=\dfrac{x}{2}, a restrição dá
x\cdot x\cdot\frac{x}{2}=32 \quad\Rightarrow\quad \frac{x^3}{2}=32.
Multiplicando por 2:
x^3=64.
Logo
x=\sqrt[3]{64}=4.
Portanto
x=4,\qquad y=4,\qquad z=\frac{x}{2}=2,
todas as unidades em \mathrm{cm}.

Passo 7

Calcular a área mínima (quantidade mínima de material):
Substituindo x=4, y=4, z=2 em f(x,y,z)=xy+2xz+2yz:
f(4,4,2)=4\cdot4+2\cdot4\cdot2+2\cdot4\cdot2=16+16+16=48.
Portanto a área mínima é 48\\ \mathrm{cm}^2.

Passo 8

Verificação rápida de que é mínimo (intuição):
  • As dimensões são positivas e existe apenas um ponto crítico com x,y,z>0 que satisfaz o sistema; variações extremas (levar uma dimensão para zero) obrigam as outras a crescer muito para manter o volume, o que aumenta a área. Assim este ponto crítico é razoavelmente o mínimo global de material para o volume fixo. (Um teste formal envolveria a análise da segunda variação com restrição, mas para problemas geométricos dessa forma a solução simétrica encontrada é a mínima.)
Força aí — já temos a resposta numérica e a conta pronta pra decorar na prova!

Resposta

x=4\\ \mathrm{cm},\\ y=4\\ \mathrm{cm},\\ z=2\\ \mathrm{cm}
Área mínima =48\\ \mathrm{cm}^2

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