Use multiplicadores de Lagrange para determinar as dimensões de uma caixa retangular aberta no topo, com um volume de
e cuja construção requeira uma quantidade mínima de material.
Precisa-se minimizar a função área de superfície
sujeita à restrição de volume
. Assim,
e
. Vê-se que
pois
, y e
não podem ser nulos na superfície
. Assim, podemos escrever
(y+2 z) \vec{i}+(x+2 z) \vec{j}+(2 x+2 y) \vec{k}=\lambda(y z \vec{i}+x z \vec{j}+x y \vec{k}) \Rightarrow y+2 z=\lambda y z, x+2 z=\lambda x z
Passo 1
O que o enunciado pede e o que já nos dão:
- Pede-se determinar as dimensões de uma caixa retangular aberta (sem tampa) que tenha volume
e que use a menor quantidade possível de material (ou seja, minimizar a área da superfície da caixa aberta). - Variáveis:
e são as dimensões da base retangular e é a altura, todas em . - Função a minimizar (área do material, caixa sem tampa):
- Restrição (volume fixo):
- Informação útil já dada (gradientes):
Passo 2
Ideia dos multiplicadores de Lagrange (explicação didática):
- Queremos encontrar extremos de
sujeitos à restrição . A ideia é que, no ponto extremo sujeito à restrição, a superfície de nível de é tangente à superfície dada por . Isso se traduz na condição de que os gradientes são paralelos:
onde
é o multiplicador de Lagrange (um número real).
- O gradiente
é o vetor de derivadas parciais . Ele aponta na direção de maior crescimento de . A condição diz que, nas direções permitidas pela restrição, não há variação linear de — isso identifica candidatos a máximo ou mínimo. - Trabalhamos com as equações escalares obtidas ao igualar componentes correspondentes dos dois vetores gradiente.
Passo 3
Escrevendo as equações escalares (igualando componentes) e incluindo a restrição:
Das componentes temos
e a restrição
Esse é o sistema a resolver para
com
(dimensões positivas).
Passo 4
Mostrar que
(simetria da base):
Compare as duas primeiras equações dividindo a primeira por
e a segunda por
(ou igualando as expressões de
):
Igualando-as:
Intuição: como a área e a restrição são simétricas em
e
(trocar
por
não altera nada), o candidato ótimo terá a base quadrada.
Passo 5
Encontrar relação entre
e
:
Com
, a terceira equação fica
Como
, divide-se por
:
Usando a expressão da segunda componente (ou primeira) para
, com
:
Igualando às duas expressões para
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 6
Usar a restrição
para obter
:
Como
e
, a restrição dá
Multiplicando por
:
Logo
Portanto
todas as unidades em
.
Passo 7
Calcular a área mínima (quantidade mínima de material):
Substituindo
,
,
em
:
Portanto a área mínima é
.
Passo 8
Verificação rápida de que é mínimo (intuição):
- As dimensões são positivas e existe apenas um ponto crítico com
que satisfaz o sistema; variações extremas (levar uma dimensão para zero) obrigam as outras a crescer muito para manter o volume, o que aumenta a área. Assim este ponto crítico é razoavelmente o mínimo global de material para o volume fixo. (Um teste formal envolveria a análise da segunda variação com restrição, mas para problemas geométricos dessa forma a solução simétrica encontrada é a mínima.)
Força aí — já temos a resposta numérica e a conta pronta pra decorar na prova!
Resposta
Área mínima