1. Calcule.
    a) \int x e^{x} d x
    b) \int x \operatorname{sen} x d x
    c) \int x^{2} e^{x} d x
    d) \int x \ln x d x
    e) \int \ln x d x
    f) \int x^{2} \ln x d x
    (g) \int x \operatorname{sec} ^{2} x d x
    (h) \int x(\ln x)^{2} d x
    i) \int(\ln x)^{2} d x
    j) \int x e^{2 x} d x.
    l) \int e^{x} \cos x d x
    m) \int e^{-2 x} \operatorname{sen} x d x
    (n) \int x^{3} e^{x^{2}} d x
    (o) \int x^{3} \cos x^{2} d x
    p) \int e^{-x} \cos 2 x d x
    q) \int x^{2} \operatorname{sen} x d x
  2. a) Verifique que
\int \operatorname{sec} ^{n} x d x=\frac{1}{n-1} \operatorname{sec} ^{n-2} x \operatorname{tg} x+\frac{n-2}{n-1} \int \operatorname{sec} ^{n-2} x d x
em que n>1 é um natural.
(b) Calcule \int \operatorname{sec} ^{5} x d x.
3. Verifique que, para todo natural n \neq 0, tem-se
a) \int \operatorname{sen}^{n} x d x=-\frac{1}{n} \operatorname{sen}^{n-1} x \cos x+\frac{n-1}{n} \int \operatorname{sen}^{n-2} x d x
b) \int \cos ^{n} x d x=\frac{1}{n} \cos ^{n-1} x \operatorname{sen} x+\frac{n-1}{n} \int \cos ^{n-2} x d x.
4. Utilizando o item (a) do Exercício 3, calcułe.
(a). \int \operatorname{sen}^{3} x d x
(b) \int \operatorname{sen}^{4} x d x.
5. Calcule \int e^{-s t} \operatorname{sen} t d t ; s>0 . c o n s t a n t e.
6. Verifique que para todo natural n \geqslant 1 e todo real s>0
\int t^{n} e^{-s t} d t=-\frac{1}{s} t^{n} e^{-s t}+\frac{n}{s} \int t^{n-1} e^{-s t} d t .
  1. Calcule.
    a) \int_{0}^{1} x e^{x} d x
    b) \int_{1}^{2} \ln x d x
    c) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}-} e^{x} \cos x d x
    d) \int_{0}^{x} t^{2} e^{-s t} d t(s \neq 0)
  2. Sejam m e n dois naturais diferentes de zero. Verifique que
    a) \int_{0}^{1} x^{n}(1-x)^{m} d x=\frac{m}{n+1} \int_{0}^{1} x^{n+1}(1-x)^{m-1} d x
    b) \int_{0}^{1} x^{n}(1-x)^{m} d x=\frac{n!m!}{(m+n+1)!}
  3. Verifique que, para todo natural n \geqslant 2,
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sen}^{n} x d x=\frac{n-1}{n} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sen}^{n-2} x d x
  1. Verifique que, para todo natural n \geqslant 1, tem-se
    a) \int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n} d x=\frac{2 n}{2 n+1} \int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n-1} d x
    b) \int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n} d x=\frac{2^{2 n}(n!)^{2}}{(2 n+1)!}

Passo 1

O enunciado reúne uma coleção de integrais indefinidas e definidas envolvendo produtos de polinômios, funções exponenciais, trigonométricas e logarítmicas, além de fórmulas de redução para potências de secante, seno e cosseno e integrais de tipo “beta” e “Laplace”. Para resolver tudo isso, vamos principalmente usar a técnica de integração por partes, a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
as fórmulas de redução que expressam \int \operatorname{sec}^n x\,dx, \int \operatorname{sen}^n x\,dx, \int \cos^n x\,dx em termos de casos de expoente menor, e propriedades das funções gama e beta quando aparecerem integrais definidas do tipo \int_0^1 x^a(1-x)^b\,dx ou \int_0^\infty t^n e^{-s t}\,dt.

Passo 2

Integrais 1a–1f por partes.
a) Para \int x e^x dx, escolha u=x, dv=e^x dx. Então du=dx, v=e^x, e
\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C = (x-1)e^x + C.
b) Para \int x\operatorname{sen} x\,dx, ponha u=x, dv=\operatorname{sen} x\,dx. Então du=dx, v=-\cos x, e
\int x\operatorname{sen} x\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx = -x\cos x + \operatorname{sen} x + C.
c) Para \int x^2 e^x dx, use duas vezes partes: primeiro u=x^2, dv=e^x dx, obtém-se \int x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2\int x e^x dx. Já conhecemos \int x e^x dx=(x-1)e^x, logo
\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2(x-1)e^x + C = (x^2-2x+2)e^x + C.
d) Para \int x\ln x\,dx, ponha u=\ln x, dv=x\,dx. Então du=\frac{dx}{x}, v=\tfrac{x^2}{2}, e
\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C.
e) Para \int \ln x\,dx, use u=\ln x, dv=dx. Então du=\frac{dx}{x}, v=x:
\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}dx = x\ln x - x + C.
f) Para \int x^2\ln x\,dx, ponha u=\ln x, dv=x^2dx. Logo du=\tfrac{dx}{x}, v=\tfrac{x^3}{3}, e
\int x^2\ln x\,dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \int \frac{x^3}{3}\cdot\frac{1}{x}dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{1}{3}\int x^2dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C.

Passo 3

Integrais 1g–1j por partes.
g) \int x\operatorname{sec}^2 x\,dx: escolha u=x, dv=\operatorname{sec}^2 x\,dx. Então du=dx, v=\operatorname{tg} x:
\int x\operatorname{sec}^2 x\,dx = x\operatorname{tg} x - \int \operatorname{tg} x\,dx = x\operatorname{tg} x + \ln|\cos x| + C.
h) \int x(\ln x)^2\,dx: ponha u=(\ln x)^2, dv=x\,dx. Então du=2\frac{\ln x}{x}dx, v=\tfrac{x^2}{2}:
\int x(\ln x)^2dx = \frac{x^2}{2}(\ln x)^2 - \int \frac{x^2}{2}\cdot 2\frac{\ln x}{x}dx = \frac{x^2}{2}(\ln x)^2 - \int x\ln x\,dx.
Já temos \int x\ln x\,dx=\tfrac{x^2}{2}\ln x - \tfrac{x^2}{4}, então
\int x(\ln x)^2dx = \frac{x^2}{2}(\ln x)^2 - \Bigl(\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\Bigr) + C = \frac{x^2}{2}(\ln x)^2 - \frac{x^2}{2}\ln x + \frac{x^2}{4} + C.
i) \int (\ln x)^2dx: use u=(\ln x)^2, dv=dx. Então du=2\frac{\ln x}{x}dx, v=x:
\int (\ln x)^2dx = x(\ln x)^2 - \int x\cdot 2\frac{\ln x}{x}dx = x(\ln x)^2 - 2\int \ln x\,dx = x(\ln x)^2 - 2(x\ln x - x) + C.
j) \int x e^{2x}dx: escolha u=x, dv=e^{2x}dx. Então du=dx, v=\tfrac{1}{2}e^{2x}:
\int x e^{2x}dx = \frac{x}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x}dx = \frac{x}{2}e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C = \frac{e^{2x}}{4}(2x-1) + C.

Passo 4

Integrais 1l–1q: combinações exponencial–trig, substituições e IBP.
l) \int e^x\cos x\,dx. Aplique partes duas vezes ou use método de equação auxiliar; o resultado padrão é
\int e^x\cos x\,dx = \frac{e^x}{2}(\operatorname{sen} x + \cos x) + C.
m) \int e^{-2x}\operatorname{sen} x\,dx. Mesma ideia (duas partes) e obtém-se
\int e^{-2x}\operatorname{sen} x\,dx = -\frac{e^{-2x}}{5}(2\operatorname{sen} x + \cos x) + C.
n) \int x^3 e^{x^2}dx. Use substituição t=x^2, dt=2x\,dx. Então x^3dx = x^2\cdot x\,dx = t\frac{dt}{2}, e
\int x^3 e^{x^2}dx = \frac{1}{2}\int t e^t dt = \frac{1}{2}(t e^t - e^t) + C = \frac{e^{x^2}}{2}(x^2 -1) + C.
o) \int x^3\cos(x^2)dx. Substituição t=x^2 x^3dx = \tfrac{t\,dt}{2}, e
\int x^3\cos(x^2)dx = \frac{1}{2}\int t\cos t\,dt = \frac{1}{2}\bigl(t\operatorname{sen} t + \cos t\bigr) + C = \frac{1}{2}\bigl(x^2\operatorname{sen}(x^2) + \cos(x^2)\bigr) + C.
p) \int e^{-x}\cos(2x)\,dx. Duas partes levam a
\int e^{-x}\cos2x\,dx = -\frac{e^{-x}}{5}(\cos2x + 2\sen2x) + C.
q) \int x^2\operatorname{sen} x\,dx. Duas partes: primeiro u=x^2, dv=\operatorname{sen} x\,dx e depois resolve-se \int x\cos x\,dx; o resultado final é
\int x^2\operatorname{sen} x\,dx = -x^2\cos x + 2x\operatorname{sen} x + 2\cos x + C.

Passo 5

Item 2, redução de \int \operatorname{sec}^n x\,dx.
Fazendo integração por partes com u=\operatorname{sec}^{n-2}x, dv=\operatorname{sec}^2 x\,dx, chega-se à fórmula
\int \operatorname{sec}^n x\,dx = \frac{1}{n-1}\operatorname{sec}^{n-2}x\,\operatorname{tg} x + \frac{n-2}{n-1}\int \operatorname{sec}^{n-2}x\,dx.
Para \int \operatorname{sec}^5 x\,dx, use n=5 nesta redução e depois calcule \int \operatorname{sec}^3 x\,dx pela mesma fórmula com n=3.

Passo 6

Item 3, redução de potências de seno e cosseno.
Aplicando partes em \int \operatorname{sen}^n x\,dx e \int \cos^n x\,dx obtém-se as fórmulas pedidas no enunciado com índices decrescentes.

Passo 7

Item 4, calcule \int \operatorname{sen}^3 x\,dx e \int \operatorname{sen}^4 x\,dx usando a fórmula de redução do passo anterior e identidades \operatorname{sen}^2 x=1-\cos^2 x.

Passo 8

Item 5, \int e^{-st}\operatorname{sen} t\,dt com s>0. Do mesmo tipo de cálculo de partes duplas, chega-se a
\int e^{-st}\operatorname{sen} t\,dt = -\frac{e^{-st}}{s^2+1}(s\operatorname{sen} t + \cos t) + C.

Passo 9

Item 6, redução de \int t^n e^{-st}dt. Partes com u=t^n, dv=e^{-st}dt conduz à relação
\int t^n e^{-st}dt = -\frac{1}{s}t^n e^{-st} + \frac{n}{s}\int t^{n-1}e^{-st}dt.

Passo 10

Item 7, integrais definidas:
a) \int_0^1 x e^x dx use partes e avalie em 0,1.
b) \int_1^2 \ln x\,dx use o resultado de \int\ln x\,dx.
c) \int_0^{\pi/2} e^x\cos x\,dx use a primitiva de e^x\cos x.
d) \int_0^x t^2 e^{-s t}dt use a relação do passo 9 com limites.

Passo 11

Item 8, integrais beta:
a) Fazendo partes em \int_0^1 x^n(1-x)^m dx obtém-se a fórmula de passo em passo.
b) O valor final é \frac{n!\,m!}{(m+n+1)!}.

Passo 12

Item 9, para n\ge2, aplique a redução de \int_0^{\pi/2}\operatorname{sen}^n x\,dx do passo 6 e use \operatorname{sen}^{n-2}x.

Passo 13

Item 10, integrais \int_0^1(1-x^2)^n dx; uma redução por partes dá (a), e (b) resulta do produto de fatores pares no numerador e fatorial no denominador.

Resposta

1a) \displaystyle (x-1)e^x + C.
1b) \displaystyle -x\cos x + \operatorname{sen} x + C.
1c) \displaystyle (x^2-2x+2)e^x + C.
1d) \displaystyle \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C.
1e) \displaystyle x\ln x - x + C.
1f) \displaystyle \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C.
1g) \displaystyle x\operatorname{tg} x + \ln|\cos x| + C.
1h) \displaystyle \frac{x^2}{2}(\ln x)^2 - \frac{x^2}{2}\ln x + \frac{x^2}{4} + C.
1i) \displaystyle x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x + C.
1j) \displaystyle \frac{e^{2x}}{4}(2x-1) + C.
1l) \displaystyle \frac{e^x}{2}(\operatorname{sen} x + \cos x) + C.
1m) \displaystyle -\frac{e^{-2x}}{5}(2\operatorname{sen} x + \cos x) + C.
1n) \displaystyle \frac{e^{x^2}}{2}(x^2-1) + C.
1o) \displaystyle \frac{1}{2}\bigl(x^2\operatorname{sen}(x^2)+\cos(x^2)\bigr) + C.
1p) \displaystyle -\frac{e^{-x}}{5}(\cos2x + 2\sen2x) + C.
1q) \displaystyle -x^2\cos x + 2x\operatorname{sen} x + 2\cos x + C.
2a) \displaystyle \int \operatorname{sec}^n x\,dx = \frac{1}{n-1}\operatorname{sec}^{n-2}x\,\operatorname{tg} x + \frac{n-2}{n-1}\int \operatorname{sec}^{n-2}x\,dx.
2b) Usando n=5 e n=3, \displaystyle \int \operatorname{sec}^5 x\,dx = \tfrac{1}{4}\operatorname{sec}^3 x\,\operatorname{tg} x + \tfrac{3}{4}\bigl(\tfrac{1}{2}\operatorname{sec} x\,\operatorname{tg} x + \tfrac{1}{2}\ln|\operatorname{sec} x+\operatorname{tg} x|\bigr) + C.
3a) \displaystyle \int \operatorname{sen}^n x\,dx = -\frac{1}{n}\operatorname{sen}^{n-1}x\cos x + \frac{n-1}{n}\int \operatorname{sen}^{n-2}x\,dx.
3b) \displaystyle \int \cos^n x\,dx = \frac{1}{n}\cos^{n-1}x\operatorname{sen} x + \frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2}x\,dx.
4a) \displaystyle \int \operatorname{sen}^3 x\,dx = -\tfrac{1}{3}\operatorname{sen}^2 x\cos x + \tfrac{2}{3}\int \operatorname{sen} x\,dx = -\tfrac{1}{3}\operatorname{sen}^2 x\cos x - \tfrac{2}{3}\cos x + C.
4b) \displaystyle \int \operatorname{sen}^4 x\,dx = \tfrac{3}{4}\int \operatorname{sen}^2 x\,dx = \tfrac{3}{4}\Bigl(x - \tfrac{1}{2}\operatorname{sen} x\cos x\Bigr) + C.
  1. \displaystyle \int e^{-st}\operatorname{sen} t\,dt = -\frac{e^{-st}}{s^2+1}(s\operatorname{sen} t + \cos t) + C,\quad s>0.
  2. \displaystyle \int t^n e^{-st}dt = -\frac{1}{s}t^n e^{-st} + \frac{n}{s}\int t^{n-1}e^{-st}dt.
7a) \displaystyle \int_0^1 x e^x dx = [ (x-1)e^x ]_0^1 = (0\cdot e^1) -(-1\cdot e^0)=1.
7b) \displaystyle \int_1^2 \ln x\,dx = [x\ln x - x]_1^2 = (2\ln2-2)-(1\cdot0-1)=2\ln2 -1.
7c) \displaystyle \int_0^{\pi/2} e^x\cos x\,dx = \Bigl[\tfrac{e^x}{2}(\operatorname{sen} x+\cos x)\Bigr]_0^{\pi/2} = \tfrac{e^{\pi/2}}{2}(1+0) - \tfrac{1}{2}(0+1) = \frac{e^{\pi/2}-1}{2}.
7d) \displaystyle \int_0^x t^2 e^{-st}dt = -\frac{x^2}{s}e^{-sx} + \frac{2}{s}\int_0^x te^{-st}dt (e em seguida para \int te^{-st}dt).
8a) \displaystyle \int_0^1 x^n(1-x)^m dx = \frac{m}{n+1}\int_0^1 x^{n+1}(1-x)^{m-1}dx.
8b) \displaystyle \int_0^1 x^n(1-x)^m dx = \frac{n!\,m!}{(m+n+1)!}.
  1. \displaystyle \int_0^{\pi/2}\operatorname{sen}^n x\,dx = \frac{n-1}{n}\int_0^{\pi/2}\operatorname{sen}^{n-2}x\,dx,\quad n\ge2.
10a) \displaystyle \int_0^1(1-x^2)^n dx = \frac{2n}{2n+1}\int_0^1(1-x^2)^{n-1}dx.
10b) \displaystyle \int_0^1(1-x^2)^n dx = \frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n+1)!}.

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