- Calcule.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
(g)
(h)
i)
j)
.
l)
m)
(n)
(o)
p)
q)
- a) Verifique que
em que
é um natural.
(b) Calcule
.
3. Verifique que, para todo natural
, tem-se
a)
b)
.
4. Utilizando o item (a) do Exercício 3, calcułe.
(a).
(b)
.
5. Calcule
.
6. Verifique que para todo natural
e todo real
- Calcule.
a)
b)
c)
d)
- Sejam
e
dois naturais diferentes de zero. Verifique que
a)
b)
- Verifique que, para todo natural
,
- Verifique que, para todo natural
, tem-se
a)
b)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
(g)
(h)
i)
j)
l)
m)
(n)
(o)
p)
q)
(b) Calcule
3. Verifique que, para todo natural
a)
b)
4. Utilizando o item (a) do Exercício 3, calcułe.
(a).
(b)
5. Calcule
6. Verifique que para todo natural
a)
b)
c)
d)
a)
b)
a)
b)
Passo 1
O enunciado reúne uma coleção de integrais indefinidas e definidas envolvendo produtos de polinômios, funções exponenciais, trigonométricas e logarítmicas, além de fórmulas de redução para potências de secante, seno e cosseno e integrais de tipo “beta” e “Laplace”. Para resolver tudo isso, vamos principalmente usar a técnica de integração por partes, a fórmula
as fórmulas de redução que expressam
,
,
em termos de casos de expoente menor, e propriedades das funções gama e beta quando aparecerem integrais definidas do tipo
ou
.
Passo 2
Integrais 1a–1f por partes.
a) Para , escolha
,
. Então
,
, e
a) Para
b) Para
, ponha
,
. Então
,
, e
c) Para
, use duas vezes partes: primeiro
,
, obtém-se
. Já conhecemos
, logo
d) Para
, ponha
,
. Então
,
, e
e) Para
, use
,
. Então
,
:
f) Para
, ponha
,
. Logo
,
, e
Passo 3
Integrais 1g–1j por partes.
g) : escolha
,
. Então
,
:
g)
h)
: ponha
,
. Então
,
:
Já temos
, então
i)
: use
,
. Então
,
:
j)
: escolha
,
. Então
,
:
Passo 4
Integrais 1l–1q: combinações exponencial–trig, substituições e IBP.
l) . Aplique partes duas vezes ou use método de equação auxiliar; o resultado padrão é
l)
m)
. Mesma ideia (duas partes) e obtém-se
n)
. Use substituição
,
. Então
, e
o)
. Substituição
dá
, e
p)
. Duas partes levam a
q)
. Duas partes: primeiro
,
e depois resolve-se
; o resultado final é
Passo 5
Item 2, redução de
.
Fazendo integração por partes com ,
, chega-se à fórmula
Fazendo integração por partes com
Para
, use
nesta redução e depois calcule
pela mesma fórmula com
.
Passo 6
Item 3, redução de potências de seno e cosseno.
Aplicando partes em e
obtém-se as fórmulas pedidas no enunciado com índices decrescentes.
Aplicando partes em
Passo 7
Item 4, calcule
e
usando a fórmula de redução do passo anterior e identidades
.
Passo 8
Item 5,
com
. Do mesmo tipo de cálculo de partes duplas, chega-se a
Passo 9
Item 6, redução de
. Partes com
,
conduz à relação
Passo 10
Item 7, integrais definidas:
a) use partes e avalie em
.
b) use o resultado de
.
c) use a primitiva de
.
d) use a relação do passo 9 com limites.
a)
b)
c)
d)
Passo 11
Item 8, integrais beta:
a) Fazendo partes em obtém-se a fórmula de passo em passo.
b) O valor final é .
a) Fazendo partes em
b) O valor final é
Passo 12
Item 9, para
, aplique a redução de
do passo 6 e use
.
Passo 13
Item 10, integrais
; uma redução por partes dá (a), e (b) resulta do produto de fatores pares no numerador e fatorial no denominador.
Resposta
1a)
1b)
1c)
1d)
1e)
1f)
1g)
1h)
1i)
1j)
1l)
1m)
1n)
1o)
1p)
1q)
1b)
1c)
1d)
1e)
1f)
1g)
1h)
1i)
1j)
1l)
1m)
1n)
1o)
1p)
1q)
2a)
2b) Usando e
,
2b) Usando
3a)
3b)
3b)
4a)
4b)
4b)
7a)
7b)
7c)
7d) (e em seguida para
).
7b)
7c)
7d)
8a)
8b)
8b)
10a)
10b)
10b)