Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: há uma soma dentro da integral com uma constante
e um termo trigonométrico
. Queremos uma primitiva (ou antiderivada) dessa expressão, ou seja, uma função cuja derivada seja o integrando, mais a constante de integração.
Passo 2
Usamos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem ser fatoradas para fora da integral. Assim escrevemos
Explicação: linearidade significa que
e
para constante
.
Passo 3
Calculo da primeira integral:
.
A constante
pode sair da integral:
Sabemos que
porque a derivada de
é
. Então
Dica prática para a prova: integrar uma constante
sempre dá
.
Passo 4
Calculo da segunda integral:
.
Primeiro fatoramos a constante
:
Passo 5
Integramos
usando substituição (a ideia é reverter a regra da cadeia).
Faça
. Então
, o que dá
. Substituindo:
Sabemos que
. Portanto
Observação alternativa (muito usada em prova): como
, uma primitiva de
é
.
Passo 6
Voltemos à segunda integral com o fator
:
Passo 7
Somando os resultados das duas partes e acrescentando a constante de integração
, obtemos a primitiva completa:
Pequeno incentivo: essa é uma técnica padrão — separar, integrar constantes e usar substituição para funções do tipo
e
. Você consegue aplicar isso rápido na prova depois de praticar umas poucas vezes!