Calcule:
int\left(\frac{1}{3}+\frac{5}{7} \cos 7 x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(\frac{1}{3}+\frac{5}{7}\cos 7x\right)\,dx.
Informações dadas: há uma soma dentro da integral com uma constante \frac{1}{3} e um termo trigonométrico \frac{5}{7}\cos 7x. Queremos uma primitiva (ou antiderivada) dessa expressão, ou seja, uma função cuja derivada seja o integrando, mais a constante de integração.

Passo 2

Usamos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem ser fatoradas para fora da integral. Assim escrevemos
\int\left(\frac{1}{3}+\frac{5}{7}\cos 7x\right)\,dx = \int \frac{1}{3}\,dx + \int \frac{5}{7}\cos 7x\,dx.
Explicação: linearidade significa que \int (f+g)=\int f + \int g e \int c\cdot f = c\int f para constante c.

Passo 3

Calculo da primeira integral: \int \frac{1}{3}\,dx.
A constante \frac{1}{3} pode sair da integral:
\int \frac{1}{3}\,dx = \frac{1}{3}\int 1\,dx.
Sabemos que \int 1\,dx = x porque a derivada de x é 1. Então
\int \frac{1}{3}\,dx = \frac{1}{3}x.
Dica prática para a prova: integrar uma constante a sempre dá ax.

Passo 4

Calculo da segunda integral: \int \frac{5}{7}\cos 7x\,dx.
Primeiro fatoramos a constante \frac{5}{7}:
\int \frac{5}{7}\cos 7x\,dx = \frac{5}{7}\int \cos 7x\,dx.

Passo 5

Integramos \int \cos 7x\,dx usando substituição (a ideia é reverter a regra da cadeia).
Faça u=7x. Então du = 7\,dx, o que dá dx = \frac{du}{7}. Substituindo:
\int \cos 7x\,dx = \int \cos u \cdot \frac{du}{7} = \frac{1}{7}\int \cos u\,du.
Sabemos que \int \cos u\,du = \sin u. Portanto
\int \cos 7x\,dx = \frac{1}{7}\sin u = \frac{1}{7}\sin(7x).
Observação alternativa (muito usada em prova): como \frac{d}{dx}\sin(7x)=7\cos(7x), uma primitiva de \cos(7x) é \frac{1}{7}\sin(7x).

Passo 6

Voltemos à segunda integral com o fator \frac{5}{7}:
\frac{5}{7}\int \cos 7x\,dx = \frac{5}{7}\cdot \frac{1}{7}\sin(7x) = \frac{5}{49}\sin(7x).

Passo 7

Somando os resultados das duas partes e acrescentando a constante de integração C, obtemos a primitiva completa:
\frac{1}{3}x + \frac{5}{49}\sin(7x) + C.
Pequeno incentivo: essa é uma técnica padrão — separar, integrar constantes e usar substituição para funções do tipo \cos(kx) e \sin(kx). Você consegue aplicar isso rápido na prova depois de praticar umas poucas vezes!

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}x+\frac{5}{49}\sin(7x)+C

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