Calcule \int_{1}^{7} x^{2} d x usando a regra de 1 / 3 de Simpson. Qual a sua estimativa de erro?

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{1}^{7} x^{2}\,dx
usando a regra de 1/3 de Simpson e estimar seu erro. Vamos aplicar a fórmula composta de Simpson e depois usar o limite de erro baseado na derivada quarta de f(x)=x^2.

Passo 2

A regra composta de Simpson exige um número par de subintervalos. Tomamos n=2, de modo que
h = \frac{b - a}{n} = \frac{7 - 1}{2} = 3.
Os pontos são
x_0 = 1,\quad x_1 = 1 + h = 4,\quad x_2 = 7.

Passo 3

A fórmula de Simpson para n=2 é
\int_{1}^{7} x^2\,dx \approx \frac{h}{3}\bigl[f(x_0) + 4f(x_1) + f(x_2)\bigr].
Calculando f(x)=x^2:
f(x_0)=1^2=1,\quad f(x_1)=4^2=16,\quad f(x_2)=7^2=49.
Logo,
\int_{1}^{7} x^2\,dx \approx \frac{3}{3}\bigl(1 + 4\cdot16 + 49\bigr) = 1\cdot(1 + 64 + 49) = 114.

Passo 4

O erro máximo da regra composta de Simpson satisfaz
E_S \le \frac{b - a}{180}\;h^4\;\max_{x\in[1,7]}\bigl|f^{(4)}(x)\bigr|.
Como f(x)=x^2 tem
f''(x)=2,\quad f^{(4)}(x)=0
em todo o intervalo, obtemos
E_S \le 0.
Ou seja, a aproximação é exata e o erro estimado é zero.

Resposta

A aproximação pela regra de 1/3 de Simpson é 114 e o erro estimado é 0.

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