Deduza a fórmula da estimativa de erro da regra de de 1 / 3 de Simpson repetitida.

Passo 1

O enunciado pede a estimativa de erro da regra composta de Simpson 1/3, ou seja, ao dividir o intervalo [a,b] em n subintervalos de tamanho igual h=(b-a)/n com n par e usar a regra de Simpson em cada par de subintervalos consecutivos, qual é o termo de erro global. Vamos usar expansão de Taylor de f até a quarta derivada e o Teorema do Valor Médio para somar os erros locais.

Passo 2

Considere um painel de Simpson sobre [x_i,x_{i+2}] de comprimento 2h. Em cada painel aproximamos
\int_{x_i}^{x_{i+2}}f(x)\,dx
por
S_i = \frac{2h}{6}\bigl(f(x_i)+4f(x_i+h)+f(x_i+2h)\bigr).
Para obter o erro local E_i=\displaystyle\int_{x_i}^{x_{i+2}}f(x)\,dx - S_i, expandimos f em torno de x_i por Taylor até a quarta derivada com resto de ordem 5: para algum \xi_i\in(x_i,x_i+2h),
f(x) = f(x_i) + f'(x_i)(x-x_i) + \frac{f''(x_i)}{2!}(x-x_i)^2 + \frac{f^{(3)}(x_i)}{3!}(x-x_i)^3 + \frac{f^{(4)}(\xi_i)}{4!}(x-x_i)^4.
Integrando termo a termo de x_i a x_i+2h e comparando com S_i, obtém‐se
E_i = -\frac{(2h)^5}{2880}\,f^{(4)}(\xi_i) = -\frac{32\,h^5}{2880}\,f^{(4)}(\xi_i) = -\frac{h^5}{90}\,f^{(4)}(\xi_i).

Passo 3

Como o método composto tem n/2 painéis de comprimento 2h, o erro global é
E = \sum_{i=0,2,4,\dots}^{n-2} E_i = -\sum_{i=0,2,\dots}^{n-2}\frac{h^5}{90}\,f^{(4)}(\xi_i).
Pelo Teorema do Valor Médio para somas, existe \xi\in[a,b] tal que
\sum_{i}f^{(4)}(\xi_i) = \frac{n}{2}\,f^{(4)}(\xi).
Logo
E = -\frac{n}{2}\,\frac{h^5}{90}\,f^{(4)}(\xi) = -\frac{n\,h^5}{180}\,f^{(4)}(\xi).
Como n\,h = b-a, isso se simplifica para
E = -\frac{b-a}{180}\,h^4\,f^{(4)}(\xi).

Resposta

\boxed{E = -\frac{b-a}{180}\,h^4\,f^{(4)}(\xi),\quad \text{para algum }\xi\in[a,b].}

Exercícios relacionados