Calcule: \int_{1 / 2}^{x}\left(\frac{5}{t-1}+\frac{2}{t}\right) d t Passo 1O enunciado pede para calcular a integral definida \int_{1/2}^{x}\Bigl(\frac{5}{t-1}+\frac{2}{t}\Bigr)\,dt. O conteúdo aqui é integração de soma de frações simples. Vamos primeiro encontrar uma primitiva F(t) de \frac{5}{t-1}+\frac{2}{t} e depois avaliar F(x)-F(1/2). Passo 2Para achar a primitiva, integramos termo a termo: \int \frac{5}{t-1}\,dt = 5\int \frac{1}{t-1}\,dt = 5\ln\bigl|t-1\bigr| + C_1, \int \frac{2}{t}\,dt = 2\int \frac{1}{t}\,dt = 2\ln\bigl|t\bigr| + C_2. Logo, uma primitiva comum é F(t) = 5\ln\bigl|t-1\bigr| + 2\ln\bigl|t\bigr|. Passo 3Agora avaliamos a definida usando F(x)-F(1/2): F(x) = 5\ln\bigl|x-1\bigr| + 2\ln\bigl|x\bigr|, F\bigl(\tfrac12\bigr) = 5\ln\bigl|\tfrac12-1\bigr| + 2\ln\bigl|\tfrac12\bigr| =5\ln\bigl|\!-\tfrac12\bigr|+2\ln\bigl|\tfrac12\bigr| =5\ln\!\tfrac12+2\ln\!\tfrac12 =-7\ln2. Portanto, \int_{1/2}^{x}\Bigl(\frac{5}{t-1}+\frac{2}{t}\Bigr)\,dt =F(x)-F\bigl(\tfrac12\bigr) =5\ln\bigl|x-1\bigr|+2\ln\bigl|x\bigr| -(-7\ln2). Resposta \boxed{5\ln\bigl|x-1\bigr| + 2\ln\bigl|x\bigr| + 7\ln2.} MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosCalcule: \int_{1 / 2}^{x}\left(\frac{5}{t-1}+\frac{2}{t}\right) d t Calcule: \int x^{3} \cos \left(x^{4}\right) d x Calcule as integrais: \int\left(e^{-x}+\operatorname{sen}(6 x)+\frac{2}{x^{5}}\right) d x Calcule as integrais: \int\left(e^{-x}+\operatorname{sen}(6 x)+\frac{2}{x^{5}}\right) d x