Calcule:
\int_{1 / 2}^{x}\left(\frac{5}{t-1}+\frac{2}{t}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1/2}^{x}\Bigl(\frac{5}{t-1}+\frac{2}{t}\Bigr)\,dt.
O conteúdo aqui é integração de soma de frações simples. Vamos primeiro encontrar uma primitiva F(t) de \frac{5}{t-1}+\frac{2}{t} e depois avaliar F(x)-F(1/2).

Passo 2

Para achar a primitiva, integramos termo a termo:
\int \frac{5}{t-1}\,dt = 5\int \frac{1}{t-1}\,dt = 5\ln\bigl|t-1\bigr| + C_1,
\int \frac{2}{t}\,dt = 2\int \frac{1}{t}\,dt = 2\ln\bigl|t\bigr| + C_2.
Logo, uma primitiva comum é
F(t) = 5\ln\bigl|t-1\bigr| + 2\ln\bigl|t\bigr|.

Passo 3

Agora avaliamos a definida usando F(x)-F(1/2):
F(x) = 5\ln\bigl|x-1\bigr| + 2\ln\bigl|x\bigr|,
F\bigl(\tfrac12\bigr) = 5\ln\bigl|\tfrac12-1\bigr| + 2\ln\bigl|\tfrac12\bigr| =5\ln\bigl|\!-\tfrac12\bigr|+2\ln\bigl|\tfrac12\bigr| =5\ln\!\tfrac12+2\ln\!\tfrac12 =-7\ln2.
Portanto,
\int_{1/2}^{x}\Bigl(\frac{5}{t-1}+\frac{2}{t}\Bigr)\,dt =F(x)-F\bigl(\tfrac12\bigr) =5\ln\bigl|x-1\bigr|+2\ln\bigl|x\bigr| -(-7\ln2).

Resposta

\boxed{5\ln\bigl|x-1\bigr| + 2\ln\bigl|x\bigr| + 7\ln2.}

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