Calcule as integrais:
\int\left(e^{-x}+\operatorname{sen}(6 x)+\frac{2}{x^{5}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int\bigl(e^{-x}+\operatorname{sen}(6x)+\tfrac{2}{x^{5}}\bigr)\,dx.
Vamos usar a propriedade de linearidade das integrais e as fórmulas básicas:
  1. \displaystyle \int e^{ax}\,dx=\frac{e^{ax}}{a} para a\neq0.
  2. \displaystyle \int \operatorname{sen}(ax)\,dx=-\frac{\cos(ax)}{a}.
  3. \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq-1.

Passo 2

Separamos a parte \int e^{-x}\,dx. Aqui a=-1, então
\int e^{-x}\,dx=\frac{e^{-x}}{-1}=-e^{-x}.

Passo 3

Agora \int \operatorname{sen}(6x)\,dx. Pela fórmula com a=6,
\int \operatorname{sen}(6x)\,dx=-\frac{\cos(6x)}{6}.

Passo 4

Fica a integral \displaystyle \int \frac{2}{x^{5}}\,dx=2\int x^{-5}\,dx. Como n=-5,
\int x^{-5}\,dx=\frac{x^{-4}}{-4}=-\frac{x^{-4}}{4},
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2\int x^{-5}\,dx=2\cdot\Bigl(-\frac{x^{-4}}{4}\Bigr)=-\frac{x^{-4}}{2}=-\frac{1}{2x^{4}}.

Passo 5

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva geral.

Resposta

-e^{-x}-\frac{1}{6}\cos(6x)-\frac{1}{2x^{4}}+C

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