Calcule:
\int x \ln (3 x) d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a antiderivada (integral indefinida) de \displaystyle \int x \ln(3x)\,dx.\n
Informações dadas e observações iniciais úteis:
  • A função a integrar é x\ln(3x).
  • Para que \ln(3x) esteja bem definida no real usamos x>0 (vamos assumir x>0 enquanto trabalhamos com log natural).
  • A resposta será uma primitiva, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=x\ln(3x), mais uma constante arbitrária C.

Passo 2

Estratégia de resolução (sem resolver ainda): usar a técnica de integração por partes ou notar que \ln(3x)=\ln 3+\ln x e dividir a integral. Vou usar integração por partes porque é direto e rápido aqui. Antes de aplicar, vou lembrar e explicar a fórmula de integração por partes.
A fórmula de integração por partes vem da regra do produto para derivadas. Se u(x) e v(x) são diferenciáveis, então
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Integrando ambos os lados e reorganizando obtemos a fórmula
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Explicando os símbolos: u é uma função que escolhemos, dv é a outra parte do integrando vista como um diferencial; du é a derivada de u vezes dx (isto é, du=u'(x)\,dx) e v é uma antiderivada de dv (isto é, \,v'=dv/dx). A escolha de u e dv busca simplificar a integral \int v\,du.

Passo 3

Escolha de u e dv: tomo
u=\ln(3x),\qquad dv = x\,dx.
Agora calculo du e v.
Calcular du: usamos regra da cadeia para \ln(3x). Se g(x)=\ln(x) então g'(x)=1/x. Para h(x)=\ln(3x) temos h'(x)=\frac{d}{dx}\ln(3x)=\frac{1}{3x}\cdot 3=\frac{1}{x}. Logo
du = \frac{1}{x}\,dx.

Passo 4

Calcular v: integrar dv=x\,dx. Uma antiderivada de x é \dfrac{x^2}{2}. Assim
v=\frac{x^2}{2}.

Passo 5

Aplicar a fórmula de integração por partes:
\int x\ln(3x)\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u=\ln(3x), v=\dfrac{x^2}{2} e du=\dfrac{1}{x}\,dx, obtemos
\int x\ln(3x)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(3x) - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplificando o integrando da segunda integral:
\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x} = \frac{x}{2},
portanto
\int x\ln(3x)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(3x) - \int \frac{x}{2}\,dx.

Passo 6

Calcular a integral restante \displaystyle \int \frac{x}{2}\,dx. Como \dfrac{1}{2} é constante:
\int \frac{x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int x\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{4}.

Passo 7

Substituindo o resultado na expressão anterior:
\int x\ln(3x)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(3x) - \frac{x^2}{4} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 8

(Aviso didático rápido) Se preferir um outro caminho: poderia também escrever \ln(3x)=\ln 3+\ln x e dividir a integral em \ln 3\int x\,dx + \int x\ln x\,dx, e ao final obteríamos a mesma expressão acima. É sempre bom verificar derivando a resposta; ao derivar \dfrac{x^2}{2}\ln(3x)-\dfrac{x^2}{4} volta-se a x\ln(3x), confirmando que a primitiva está correta. Força — você está indo bem!

Resposta

\frac{x^2}{2}\ln(3x)-\frac{x^2}{4}+C

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