Calcule:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a antiderivada (integral indefinida) de
.\n
Informações dadas e observações iniciais úteis:
Informações dadas e observações iniciais úteis:
- A função a integrar é
. - Para que
esteja bem definida no real usamos (vamos assumir enquanto trabalhamos com log natural). - A resposta será uma primitiva, ou seja, uma função
tal que , mais uma constante arbitrária .
Passo 2
Estratégia de resolução (sem resolver ainda): usar a técnica de integração por partes ou notar que
e dividir a integral. Vou usar integração por partes porque é direto e rápido aqui. Antes de aplicar, vou lembrar e explicar a fórmula de integração por partes.
A fórmula de integração por partes vem da regra do produto para derivadas. Se
e
são diferenciáveis, então
Integrando ambos os lados e reorganizando obtemos a fórmula
Explicando os símbolos:
é uma função que escolhemos,
é a outra parte do integrando vista como um diferencial;
é a derivada de
vezes
(isto é,
) e
é uma antiderivada de
(isto é,
). A escolha de
e
busca simplificar a integral
.
Passo 3
Escolha de
e
: tomo
Agora calculo
e
.
Calcular
: usamos regra da cadeia para
. Se
então
. Para
temos
. Logo
Passo 4
Calcular
: integrar
. Uma antiderivada de
é
. Assim
Passo 5
Aplicar a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
, obtemos
Simplificando o integrando da segunda integral:
portanto
Passo 6
Calcular a integral restante
. Como
é constante:
Passo 7
Substituindo o resultado na expressão anterior:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
(Aviso didático rápido) Se preferir um outro caminho: poderia também escrever
e dividir a integral em
, e ao final obteríamos a mesma expressão acima. É sempre bom verificar derivando a resposta; ao derivar
volta-se a
, confirmando que a primitiva está correta. Força — você está indo bem!