[20 pts] Determine o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo y=1 da região delimitada pelas curvas \quad y=0 \quad e \quad y=1-x^{2}
Sugestão: esboce a região, depois o sólido e um disco ou arruela típicos.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno da reta y=1 a região plana limitada pelas curvas y=0 e y=1-x^{2}. Informações dadas importantes:
  • A região está entre as curvas y=0 (eixo x) e y=1-x^{2} (parábola com vértice em (0,1)).
  • A rotação é em torno da reta horizontal y=1.
  • Devemos determinar o volume do sólido gerado por essa rotação.

Passo 2

Primeiro encontramos onde as curvas se interceptam para saber o intervalo em x da região. Igualamos
1-x^{2}=0.
Resolvendo, obtemos x^{2}=1, logo x=\pm 1. Portanto a região em x vai de x=-1 até x=1. Visualmente: é a “região embaixo” da parábola desde x=-1 até x=1, tocando o eixo x.

Passo 3

Escolhemos o método das arruelas (washers), porque a rotação é em torno de uma reta horizontal e é natural integrar em variável x (fatias verticais) — cada fatia, ao girar, forma uma arruela com raio externo e interno medidos verticalmente. Regra prática (fórmula): se giramos em torno de uma reta horizontal e tomamos fatias verticais, o volume é
V=\int_{a}^{b}\pi\big(R(x)^{2}-r(x)^{2}\big)\,dx,
onde R(x) é o raio externo (distância do eixo até a curva mais distante) e r(x) é o raio interno (distância do eixo até a curva mais próxima), ambos medidos em função de x.

Passo 4

Identificamos quais curvas ficam mais longe e mais perto do eixo y=1 ao longo da região:
  • A reta/linha de rotação é y=1.
  • Para um x fixo no intervalo [-1,1], a parte superior da região é y=1-x^{2} e a parte inferior é y=0.
    Distâncias ao eixo y=1:
  • Raio externo R(x) = distância de y=1 até y=0:
R(x)=1-0=1.
  • Raio interno r(x) = distância de y=1 até y=1-x^{2}:
r(x)=\big|1-(1-x^{2})\big|=x^{2}.
Observação: o valor é x^{2} (sempre não negativo), e o eixo y=1 passa acima da parábola exceto no vértice; por isso a região gira gerando um furo central cujo raio varia como x^{2}.

Passo 5

Escrevemos a integral do volume com os limites x=-1 até x=1:
V=\int_{-1}^{1}\pi\big(R(x)^{2}-r(x)^{2}\big)\,dx =\int_{-1}^{1}\pi\big(1^{2}-(x^{2})^{2}\big)\,dx =\pi\int_{-1}^{1}\big(1-x^{4}\big)\,dx.

Passo 6

Calculamos a integral passo a passo. Primeiro achamos antiderivada de 1-x^{4}:
\int\big(1-x^{4}\big)\,dx = x-\frac{x^{5}}{5}+C.
Agora avaliamos entre -1 e 1:
\int_{-1}^{1}\big(1-x^{4}\big)\,dx = \left[x-\frac{x^{5}}{5}\right]_{-1}^{1}.
Avaliação em x=1:
1-\frac{1^{5}}{5}=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}.
Avaliação em x=-1:
(-1)-\frac{(-1)^{5}}{5}=-1-\frac{-1}{5}=-1+\frac{1}{5}=-\frac{4}{5}.
Subtraindo:
\left[x-\frac{x^{5}}{5}\right]_{-1}^{1}=\frac{4}{5}-\big(-\frac{4}{5}\big)=\frac{8}{5}.
Multiplicando por \pi obtemos
V=\pi\cdot\frac{8}{5}=\frac{8\pi}{5}.

Passo 7

Verificação rápida por simetria: a função integranda 1-x^{4} é par, então poderíamos ter feito 2\pi\int_{0}^{1}(1-x^{4})\,dx e chegado ao mesmo resultado \dfrac{8\pi}{5}. Tudo consistente.

Resposta

\dfrac{8\pi}{5}

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