Demonstre cada afirmação usando a definição
\lim _{x \rightarrow 4}\left(\frac{1}{2} x-1\right)=1

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, usando a definição (épsilon–delta) de limite, que
\lim_{x\to 4}\left(\frac{1}{2}x-1\right)=1.
Informações dadas que vamos usar:
f(x)=\frac{1}{2}x-1,\qquad \text{o ponto de limite } a=4,\qquad \text{o valor limite proposto } L=1.
O que precisamos provar formalmente: mostrar que para todo \epsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-4|<\delta, temos \left|\left(\frac{1}{2}x-1\right)-1\right|<\epsilon.

Passo 2

Breve aula sobre a definição que vamos usar (modo intuitivo e formal):
Intuitivamente: dizer \lim_{x\to a} f(x)=L significa que podemos forçar f(x) a ficar tão perto de L quanto quisermos, tomando x suficientemente perto de a (mas diferente de a).
Formalmente: a definição é
\forall \epsilon>0\\ \exists \delta>0\\ \text{tal que}\\\ 0<|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon.
Aqui \epsilon é "o quanto eu quero que o valor esteja perto de L" e \delta é "o quanto eu preciso aproximar x de a" para garantir isso. Nosso objetivo é, dado um \epsilon>0 arbitrário, encontrar uma expressão para \delta em função de \epsilon que faça a implicação valer.

Passo 3

Vamos manipular a diferença que aparece na definição, isto é |f(x)-L|. Calculemos e simplifiquemos passo a passo:
\left|\left(\frac{1}{2}x-1\right)-1\right|
Primeiro agrupamos termos:
\left|\frac{1}{2}x-2\right|
Fatoramos \frac{1}{2}:
\left|\frac{1}{2}(x-4)\right|
Agora usamos que o valor absoluto do produto é o produto dos valores absolutos:
\frac{1}{2}|x-4|.
Portanto, para qualquer x,
\left|\left(\frac{1}{2}x-1\right)-1\right|=\frac{1}{2}|x-4|.

Passo 4

A partir da expressão obtida, encontramos \delta em função de \epsilon. Queremos que
\frac{1}{2}|x-4|<\epsilon.
Multiplicando ambos os lados por 2 (positivo), obtemos
|x-4|<2\epsilon.
Isso sugere escolher
\delta=2\epsilon.
Verificação formal: seja \epsilon>0 dado. Tome \delta=2\epsilon>0. Se 0<|x-4|<\delta então
\left|\left(\frac{1}{2}x-1\right)-1\right|=\frac{1}{2}|x-4|<\frac{1}{2}\delta=\frac{1}{2}\cdot 2\epsilon=\epsilon.
Logo a implicação da definição é satisfeita para essa escolha de \delta.

Passo 5

Exemplo numérico rápido para sentir a ideia: se eu quero que o valor da função fique dentro de \epsilon=0,1 de 1, escolho \delta=2\cdot 0,1=0,2. Então sempre que 0<|x-4|<0,2 temos |f(x)-1|<0,1. Dá para testar: para x=3,95 (diferença 0,05<0,2) temos f(3,95)=\tfrac12\cdot3,95-1=0,975-1=-0,025? Atenção: calcular corretamente: \tfrac12\cdot3{,}95=1{,}975, então f(3{,}95)=0{,}975 e |0{,}975-1|=0{,}025<0{,}1, funciona.

Passo 6

Concluímos que para todo \epsilon>0 a escolha \delta=2\epsilon satisfaz a condição da definição de limite. Portanto a demonstração está completa e
\lim_{x\to 4}\left(\frac{1}{2}x-1\right)=1.

Resposta

\forall \epsilon>0 escolha \delta=2\epsilon>0. Se 0<|x-4|<\delta então \left|\left(\dfrac{1}{2}x-1\right)-1\right|=\dfrac{1}{2}|x-4|<\dfrac{1}{2}\delta=\epsilon. Portanto \displaystyle\lim_{x\to 4}\left(\frac{1}{2}x-1\right)=1.

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