Calcule:
\int_{1}^{2} x^{n} d x, n \geq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2} x^{n}\,dx,
onde n\geq1. O conteúdo principal aqui é a aplicação da regra de potência para integrais.

Passo 2

A regra de potência diz que, para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Como n\ge1, podemos usar essa fórmula para obter a antiderivada de x^n.

Passo 3

Denotando por F(x) a antiderivada de x^n, temos
F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}.
Para a integral definida de 1 a 2, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{1}^{2} x^{n}\,dx = F(2) - F(1).

Passo 4

Calculando F(2) e F(1):
F(2) = \frac{2^{n+1}}{n+1}, \qquad F(1) = \frac{1^{n+1}}{n+1} = \frac{1}{n+1}.

Passo 5

Subtraindo, obtemos
\int_{1}^{2} x^{n}\,dx = \frac{2^{n+1}}{n+1} - \frac{1}{n+1} = \frac{2^{n+1} - 1}{n+1}.

Resposta

\int_{1}^{2} x^{n}\,dx = \frac{2^{n+1} - 1}{n+1}.

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