Calcule
\int x^{2} \operatorname{sen} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x^{2}\operatorname{sen} x\,dx
O conteúdo principal aqui é integração por partes, cuja fórmula é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Vamos aplicar essa técnica duas vezes.

Passo 2

Escolhemos na primeira aplicação
u = x^{2},\quad dv = \operatorname{sen} x\,dx.
Então
du = 2x\,dx,\quad v = \int \operatorname{sen} x\,dx = -\cos x.
Pela fórmula de partes,
\int x^{2}\operatorname{sen} x\,dx = u\,v - \int v\,du = -x^{2}\cos x - \int \bigl(-\cos x\bigr)\,2x\,dx = -x^{2}\cos x + 2\int x\cos x\,dx.

Passo 3

Agora calculamos
\int x\cos x\,dx
usando integração por partes de novo. Seja
u = x,\quad dv = \cos x\,dx,
então
du = dx,\quad v = \int \cos x\,dx = \sin x.
Logo,
\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x.
Multiplicando por 2,
2\int x\cos x\,dx = 2x\sin x + 2\cos x.

Passo 4

Substituindo de volta,
\int x^{2}\operatorname{sen} x\,dx = -x^{2}\cos x + \bigl(2x\sin x + 2\cos x\bigr) + C.

Resposta

-x^{2}\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C

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