Calcule
\int x e^{2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x e^{2x}\,dx
O conteúdo principal aqui é o método de integração por partes, que usamos quando a integranda é produto de duas funções que conhecemos separadamente.

Passo 2

O teorema de integração por partes diz que, para funções u(x) e v(x), vale
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Nossa estratégia será escolher u e dv de modo que du e v sejam fáceis de calcular.

Passo 3

Escolhemos
u = x \qquad\text{e}\qquad dv = e^{2x}\,dx.
Então calculamos du e v:

Passo 4

Derivando u e integrando dv, obtemos
du = dx \qquad\text{e}\qquad v = \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x}.

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int x e^{2x}\,dx = u\,v - \int v\,du = x\cdot\frac{1}{2}e^{2x} \;-\;\int \frac{1}{2}e^{2x}\,dx.

Passo 6

Agora basta calcular a integral restante:
\int \frac{1}{2}e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}e^{2x} = \frac{1}{4}e^{2x}.

Passo 7

Substituindo de volta, obtemos
\int x e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x e^{2x} \;-\; \frac{1}{4}e^{2x} + C.
Opcionalmente, podemos fatorar e^{2x}:
\int x e^{2x}\,dx = e^{2x}\Bigl(\frac{x}{2} - \frac{1}{4}\Bigr) + C.

Resposta

\int x e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C.

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