Calcule
\int_{0}^{1} x e^{x} d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral definida \int_{0}^{1} x e^{x} \,dx. O conteúdo é cálculo de integrais e vamos usar a técnica de integração por partes, cuja fórmula é \int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = x
dv = e^{x}\,dx
porque ao derivar x fica simples e integrar e^{x} é direto.

Passo 3

Derivando e integrando:
du = dx
\displaystyle v = \int e^{x}\,dx = e^{x}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int_{0}^{1} x e^{x}\,dx = \bigl[x e^{x}\bigr]_{0}^{1} \;-\; \int_{0}^{1} e^{x}\,dx

Passo 5

Calculamos os termos separadamente:
\bigl[x e^{x}\bigr]_{0}^{1} = 1\cdot e^{1} \;-\; 0\cdot e^{0} = e
\int_{0}^{1} e^{x}\,dx = \bigl[e^{x}\bigr]_{0}^{1} = e - 1
Logo,
\int_{0}^{1} x e^{x}\,dx = e - (e - 1) = 1

Resposta

1

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