Calcule \int_{0}^{2} \int_{y / 2}^{1} y \cos \left(x^{3}-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{2}\int_{y/2}^{1}y\cos\bigl(x^{3}-1\bigr)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y.
O conteúdo aqui é integração iterada e troca de ordem de integração (Teorema de Fubini), além de uma substituição simples para resolver a integral resultante.

Passo 2

Vamos descrever o domínio
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le2,\;y/2\le x\le1\}
e trocar a ordem de integração. Para isso, notamos que em D temos y\le2x e 0\le x\le1. Então podemos reescrever
\int_{0}^{2}\!\int_{y/2}^{1}(\cdots)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{2x}(\cdots)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Com a ordem invertida, a integral vira
\int_{0}^{1}\int_{0}^{2x}y\cos\bigl(x^{3}-1\bigr)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x.
Como \cos(x^{3}-1) independe de y, a integral interna é
\int_{0}^{2x}y\,\mathrm{d}y =\frac{(2x)^{2}}{2} =2x^{2}.
Logo o integral torna-se
\int_{0}^{1}2x^{2}\cos\bigl(x^{3}-1\bigr)\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Para \displaystyle\int_{0}^{1}2x^{2}\cos\bigl(x^{3}-1\bigr)\,\mathrm{d}x, usamos a substituição
u = x^{3}-1,\quad \mathrm{d}u = 3x^{2}\,\mathrm{d}x \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}u}{3}.
Quando x=0, u=-1; quando x=1, u=0. Assim
\int_{0}^{1}2x^{2}\cos\bigl(x^{3}-1\bigr)\,\mathrm{d}x =\frac{2}{3}\int_{u=-1}^{0}\cos(u)\,\mathrm{d}u =\frac{2}{3}\bigl[\sin(u)\bigr]_{-1}^{0} =\frac{2}{3}\bigl(0-\bigl(-\sin(1)\bigr)\bigr) =\frac{2}{3}\sin(1).

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}\sin(1)

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