Calcule o volume do sólido delimitado pelo cilindro
e pelos planos
,
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido
limitado pelas superfícies
O conteúdo é cálculo de volume por integral tripla. Vamos projetar
no plano
, obter as funções de
em função de
e calcular
Passo 2
Para cada
no disco
com
, o sólido fica entre
e as duas “tampas”
e
. Logo
Para que essa altura seja não negativa, é necessário
Portanto a projeção
no plano
é
Passo 3
O volume é
Como
troca em
, separamos:
Passo 4
Em cada integral interna
. Assim definimos
e
.
Passo 5
Para
, use
,
, obtendo
Passo 6
Para
, escreva
A segunda parte já é semelhante a
e dá
A primeira parte usa a primitiva
de
a
, resultando
Subtraindo e simplificando chega-se a
Passo 7
Somando
obtemos
e agrupando termos dá