Calcule o volume do sólido delimitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=4 e pelos planos z=0, x=0, z=y e z=1-y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido S limitado pelas superfícies
x^2+y^2=4,\quad x=0,\quad z=0,\quad z=y,\quad z=1-y.
O conteúdo é cálculo de volume por integral tripla. Vamos projetar S no plano xy, obter as funções de z em função de (x,y) e calcular
V=\iiint_{S}dV=\iint_{D}\bigl[\text{altura em }z\bigr]\,dA.

Passo 2

Para cada (x,y) no disco x^2+y^2\le4 com x\ge0, o sólido fica entre z=0 e as duas “tampas” z=y e z=1-y. Logo
0\le z\le\min\{y,\;1-y\}.
Para que essa altura seja não negativa, é necessário
y\ge0 \quad\text{e}\quad 1-y\ge0 \quad\Longrightarrow\quad 0\le y\le1.
Portanto a projeção D no plano xy é
D=\Bigl\{(x,y)\mid 0\le x\le\sqrt{4-y^2},\;0\le y\le1\Bigr\}.

Passo 3

O volume é
V=\iint_{D}\min\{y,\,1-y\}\;dA =\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{\sqrt{4-y^2}}\min\{y,\,1-y\}\;dx\,dy.
Como \min\{y,1-y\} troca em y=\tfrac12, separamos:
V =\int_{0}^{1/2}\!\int_{0}^{\sqrt{4-y^2}}y\,dx\,dy +\int_{1/2}^{1}\!\int_{0}^{\sqrt{4-y^2}}(1-y)\,dx\,dy.

Passo 4

Em cada integral interna \int_{0}^{\sqrt{4-y^2}}dx=\sqrt{4-y^2}. Assim definimos
I_1=\int_{0}^{1/2}y\,\sqrt{4-y^2}\,dy, \quad I_2=\int_{1/2}^{1}(1-y)\,\sqrt{4-y^2}\,dy,
e V=I_1+I_2.

Passo 5

Para I_1, use u=4-y^2, du=-2y\,dy, obtendo
I_1 =\int_{0}^{1/2}y\sqrt{4-y^2}\,dy =-\tfrac12\int_{u=4}^{15/4}u^{1/2}\,du =\frac{1}{3}\Bigl[u^{3/2}\Bigr]_{15/4}^{4} =\frac{8}{3}-\frac{15\sqrt{15}}{24}.

Passo 6

Para I_2, escreva
I_2 =\int_{1/2}^{1}\sqrt{4-y^2}\,dy -\int_{1/2}^{1}y\sqrt{4-y^2}\,dy.
A segunda parte já é semelhante a I_1 e dá
\int_{1/2}^{1}y\sqrt{4-y^2}\,dy =\frac{1}{3}\bigl[(4-y^2)^{3/2}\bigr]_{y=1/2}^{1} =\frac{15\sqrt{15}}{24}-\sqrt{3}.
A primeira parte usa a primitiva
\int\sqrt{4-y^2}\,dy =\frac{y}{2}\sqrt{4-y^2}+2\arcsin\!\bigl(\tfrac{y}{2}\bigr),
de y=\tfrac12 a y=1, resultando
\int_{1/2}^{1}\sqrt{4-y^2}\,dy =\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}+\tfrac\pi3\Bigr) -\Bigl(\tfrac{\sqrt{15}}{8}+2\arcsin\tfrac14\Bigr).
Subtraindo e simplificando chega-se a
I_2 =\frac{3\sqrt3}{2}+\frac{\pi}{3}-2\arcsin\tfrac14 -\frac{3\sqrt{15}}{4}.

Passo 7

Somando I_1+I_2 obtemos
V =\Bigl(\tfrac{8}{3}-\tfrac{15\sqrt{15}}{24}\Bigr) +\Bigl(\tfrac{3\sqrt3}{2}+\tfrac{\pi}{3}-2\arcsin\tfrac14-\tfrac{3\sqrt{15}}{4}\Bigr)
e agrupando termos dá
V =\frac{8+\pi}{3}+\frac{3\sqrt3}{2}-2\arcsin\tfrac14 -\frac{11\sqrt{15}}{8}.

Resposta

\boxed{ V =\frac{8+\pi}{3}+\frac{3\sqrt3}{2}-2\arcsin\!\Bigl(\tfrac14\Bigr) -\frac{11\sqrt{15}}{8} }.

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