Use multiplicadores de Lagrange para determinar os pontos da curva x^{2} y=16 mais próximos da origem.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os pontos da curva definida por
x^{2}y = 16
que estão mais próximos da origem.
O conteúdo aqui é otimização com restrição, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para minimizar a distância ao quadrado até a origem.

Passo 2

Definimos a função objeto (distância ao quadrado)
f(x,y) = x^{2} + y^{2}
e a restrição
g(x,y) = x^{2}y - 16 = 0.
Construímos o lagrangiano
L(x,y,\lambda) = f(x,y) - \lambda\,g(x,y) = x^{2} + y^{2} - \lambda\,(x^{2}y - 16).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
\frac{\partial L}{\partial x} = 2x - \lambda\,(2x\,y) = 2x\bigl(1 - \lambda y\bigr) = 0,
\frac{\partial L}{\partial y} = 2y - \lambda\,x^{2} = 0,
\frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(x^{2}y - 16) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}y = 16.

Passo 4

Da primeira equação temos 2x(1-\lambda y)=0. Como x=0 não satisfaz a restrição, fica
\lambda y = 1 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{1}{y}.
Da segunda equação,
2y - \lambda x^{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{2y}{x^{2}}.
Igualando as duas expressões de \lambda:
\frac{1}{y} = \frac{2y}{x^{2}} \quad\Longrightarrow\quad x^{2} = 2y^{2}.
Substituindo na restrição x^{2}y=16:
2y^{2}\cdot y = 16 \quad\Longrightarrow\quad 2y^{3} = 16 \quad\Longrightarrow\quad y^{3} = 8 \quad\Longrightarrow\quad y = 2.
Então x^{2} = 2\cdot 2^{2} = 8, de onde
x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}.

Passo 5

Os pontos candidatos são
\bigl(2\sqrt{2},\,2\bigr) \quad\text{e}\quad \bigl(-2\sqrt{2},\,2\bigr).
Em ambos f(x,y)=8+4=12. Como a curva vai ao infinito e não há outros críticos, esses pontos de fato minimizam a distância.

Resposta

(2\sqrt{2},\,2)
(-2\sqrt{2},\,2)

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