Use multiplicadores de Lagrange para determinar os pontos da curva
mais próximos da origem.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos os pontos da curva definida por
que estão mais próximos da origem.
O conteúdo aqui é otimização com restrição, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para minimizar a distância ao quadrado até a origem.
O conteúdo aqui é otimização com restrição, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para minimizar a distância ao quadrado até a origem.
Passo 2
Definimos a função objeto (distância ao quadrado)
e a restrição
Construímos o lagrangiano
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Passo 4
Da primeira equação temos
. Como
não satisfaz a restrição, fica
Da segunda equação,
Igualando as duas expressões de
:
Substituindo na restrição
:
Então
, de onde
Passo 5
Os pontos candidatos são
Em ambos
. Como a curva vai ao infinito e não há outros críticos, esses pontos de fato minimizam a distância.