Calcule:
\int_{0}^{4} \int_{2}^{y^{2}} x^{2}+y^{2} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{4}\int_{2}^{y^{2}} (x^{2}+y^{2})\,dx\,dy.
Informações dadas:
  • A variável externa y vai de 0 a 4.
  • Para cada y, a variável interna x vai de 2 até y^{2}.
  • A função integranda é x^{2}+y^{2}.
    O objetivo é obter um valor numérico para essa integral dupla.

Passo 2

Primeira observação importante (atenção aos limites): para alguns valores de y pequenos temos y^{2}<2, ou seja, o limite inferior 2 é maior que o limite superior y^{2}. Isso implica que a integral interna \int_{2}^{y^{2}}(\cdots)dx muda de sinal nesses y. Para evitar confusões é mais claro descrever a região de integração no plano (x,y) e trocar a ordem de integração, de modo que todos os limites fiquem “normais” (limite inferior menor que o superior).

Passo 3

Descrever a região D dada pelos limites:
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le4,\;2\le x\le y^{2}\}.
Note que para existir ponto com 2\le x\le y^{2} é necessário y^{2}\ge 2, isto é y\ge \sqrt{2}. Portanto, efetivamente y varia de \sqrt{2} até 4. Em termos de x, os valores possíveis vão de x=2 (menor) até x=y^{2} que atinge no máximo 4^{2}=16. Invertendo a descrição da região: para um dado x com 2\le x\le 16, a condição x\le y^{2} com y\ge0 é y\ge \sqrt{x}, e ainda y\le 4. Logo a região D pode ser escrita como
D=\{(x,y)\mid 2\le x\le16,\;\sqrt{x}\le y\le4\}.

Passo 4

Trocar a ordem de integração usando a descrição do passo anterior. Assim a integral original é igual a
\int_{x=2}^{16}\int_{y=\sqrt{x}}^{4} (x^{2}+y^{2})\,dy\,dx.
Explicação curta do porquê: cada ponto da região D é contado uma vez; descrever por y primeiro (como no enunciado) traz complicação quando y<\sqrt{2}; descrevendo por x primeiro os limites ficam simples.

Passo 5

Calcular a integral interna em y, tratando x como constante. Usamos que \int x^{2}\,dy = x^{2}y (pois x^{2} é constante em y) e \int y^{2}\,dy = \dfrac{y^{3}}{3}. Portanto
\int_{\sqrt{x}}^{4} (x^{2}+y^{2})\,dy = x^{2}\bigl(4-\sqrt{x}\bigr) + \left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{\sqrt{x}}^{4}.
Avaliar o termo em y:
\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{\sqrt{x}}^{4} = \frac{4^{3}}{3} - \frac{(\sqrt{x})^{3}}{3} = \frac{64}{3} - \frac{x^{3/2}}{3}.
Somando,
\int_{\sqrt{x}}^{4} (x^{2}+y^{2})\,dy = x^{2}(4-\sqrt{x}) + \frac{64}{3} - \frac{x^{3/2}}{3}.

Passo 6

Simplificar a expressão obtida para integrá-la em x. Expanda x^{2}(4-\sqrt{x}):
x^{2}(4-\sqrt{x}) = 4x^{2} - x^{5/2}.
Assim a integranda em x fica
4x^{2} - x^{5/2} + \frac{64}{3} - \frac{x^{3/2}}{3}.

Passo 7

Integre termo a termo usando a regra do poder: \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} válida para qualquer n\neq-1, inclusive expoentes fracionários como n=5/2 ou 3/2.
Calcule as primitivas:
  • \displaystyle \int 4x^{2}\,dx = 4\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{4}{3}x^{3}.
  • \displaystyle \int -x^{5/2}\,dx = -\frac{x^{7/2}}{7/2} = -\frac{2}{7}x^{7/2}.
  • \displaystyle \int -\frac{x^{3/2}}{3}\,dx = -\frac{1}{3}\cdot\frac{x^{5/2}}{5/2} = -\frac{2}{15}x^{5/2}.
  • \displaystyle \int \frac{64}{3}\,dx = \frac{64}{3}x.
    Logo uma primitiva completa é
F(x)=\frac{4}{3}x^{3} - \frac{2}{7}x^{7/2} - \frac{2}{15}x^{5/2} + \frac{64}{3}x.

Passo 8

Avaliar F(x) entre x=2 e x=16. Primeiro calcular F(16). Como \sqrt{16}=4:
\begin{aligned} x^{3}\Big|_{16}&=4096,\\\ x^{7/2}\Big|_{16}&=4^{7}=16384,\\\ x^{5/2}\Big|_{16}&=4^{5}=1024,\\\ \frac{4}{3}\cdot4096 &= \frac{16384}{3},\\\\ -\frac{2}{7}\cdot16384 &= -\frac{32768}{7},\\\\ -\frac{2}{15}\cdot1024 &= -\frac{2048}{15},\\\ \frac{64}{3}\cdot16 &= \frac{1024}{3}. \end{aligned}
Somando os termos com denominador comum 105 (para organizar):
F(16)=\frac{103424}{105}.
Agora F(2). Note \sqrt{2} aparece nas potências fracionárias:
\begin{aligned} x^{3}\Big|_{2}&=8,\\\ x^{7/2}\Big|_{2}&=8\sqrt{2},\\\ x^{5/2}\Big|_{2}&=4\sqrt{2},\\\ \frac{4}{3}\cdot8 + \frac{64}{3}\cdot2 &= \frac{160}{3},\\\\ -\frac{2}{7}\cdot 8\sqrt{2} &= -\frac{16}{7}\sqrt{2},\\\\ -\frac{2}{15}\cdot4\sqrt{2} &= -\frac{8}{15}\sqrt{2}. \end{aligned}
Combinar os termos em forma com denominador 105:
F(2)=\frac{5600}{105} - \frac{296}{105}\sqrt{2}.

Passo 9

Subtrair F(2) de F(16):
\begin{aligned} \int_{0}^{4}\int_{2}^{y^{2}}(x^{2}+y^{2})\,dx\,dy &= F(16)-F(2)\\[4pt] &= \frac{103424}{105} -\left(\frac{5600}{105} - \frac{296}{105}\sqrt{2}\right)\\[4pt] &= \frac{97824}{105} + \frac{296}{105}\sqrt{2}. \end{aligned}
Podemos também escrever de forma levemente fatorada:
\frac{97824}{105} + \frac{296}{105}\sqrt{2} = \frac{97824+296\sqrt{2}}{105}.]

Resposta

\displaystyle \frac{97824}{105}+\frac{296}{105}\sqrt{2}

Exercícios relacionados