Para cada y, a variável interna x vai de 2 até y^{2}.
A função integranda é x^{2}+y^{2}.
O objetivo é obter um valor numérico para essa integral dupla.
Passo 2
Primeira observação importante (atenção aos limites): para alguns valores de y pequenos temos y^{2}<2, ou seja, o limite inferior 2 é maior que o limite superior y^{2}. Isso implica que a integral interna \int_{2}^{y^{2}}(\cdots)dx muda de sinal nesses y. Para evitar confusões é mais claro descrever a região de integração no plano (x,y) e trocar a ordem de integração, de modo que todos os limites fiquem “normais” (limite inferior menor que o superior).
Passo 3
Descrever a região D dada pelos limites:
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le4,\;2\le x\le y^{2}\}.
Note que para existir ponto com 2\le x\le y^{2} é necessário y^{2}\ge 2, isto é y\ge \sqrt{2}. Portanto, efetivamente y varia de \sqrt{2} até 4. Em termos de x, os valores possíveis vão de x=2 (menor) até x=y^{2} que atinge no máximo 4^{2}=16. Invertendo a descrição da região: para um dado x com 2\le x\le 16, a condição x\le y^{2} com y\ge0 é y\ge \sqrt{x}, e ainda y\le 4. Logo a região D pode ser escrita como
D=\{(x,y)\mid 2\le x\le16,\;\sqrt{x}\le y\le4\}.
Passo 4
Trocar a ordem de integração usando a descrição do passo anterior. Assim a integral original é igual a
Explicação curta do porquê: cada ponto da região D é contado uma vez; descrever por y primeiro (como no enunciado) traz complicação quando y<\sqrt{2}; descrevendo por x primeiro os limites ficam simples.
Passo 5
Calcular a integral interna em y, tratando x como constante. Usamos que \int x^{2}\,dy = x^{2}y (pois x^{2} é constante em y) e \int y^{2}\,dy = \dfrac{y^{3}}{3}. Portanto
Integre termo a termo usando a regra do poder: \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} válida para qualquer n\neq-1, inclusive expoentes fracionários como n=5/2 ou 3/2.
Calcule as primitivas: