Calcule: \int_{1}^{2} \int_{x}^{1-x^{2}} 4 y d y d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{1}^{2}\int_{x}^{1-x^{2}} 4y\,dy\,dx.
Informações dadas:
A variável de integração interna é y com limite inferior y=x e limite superior y=1-x^{2}.
A variável de integração externa é x com x variando de 1 a 2.
O integrando é 4y.
Observação útil (apenas listada): para x entre 1 e 2 é provável que 1-x^{2} seja menor que x (isto será verificado/usar-se-á na resolução).
Passo 2
Primeiro fazemos a integral interna em y, tratando x como constante. Para isso usamos a regra básica da antiderivada: para \displaystyle \int y\,dy a primitiva é \dfrac{y^{2}}{2}. Assim, para \displaystyle \int 4y\,dy temos
\int 4y\,dy = 4\cdot\frac{y^{2}}{2} = 2y^{2}.
Aplicamos agora os limites de y (de y=x até y=1-x^{2}):
Comentário didático rápido e encorajador: apesar de para x\in[1,2] o limite superior em y, \,1-x^{2}\,, ser menor que o limite inferior x, a integral interna já leva isso em conta (resulta em valor negativo localmente), e o cálculo direto das primitivas dá o resultado correto. Bons passos: 1) integrar em y, 2) simplificar, 3) integrar em x.