Calcule:
\int_{1}^{2} \int_{x}^{1-x^{2}} 4 y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{1}^{2}\int_{x}^{1-x^{2}} 4y\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • A variável de integração interna é y com limite inferior y=x e limite superior y=1-x^{2}.
  • A variável de integração externa é x com x variando de 1 a 2.
  • O integrando é 4y.
  • Observação útil (apenas listada): para x entre 1 e 2 é provável que 1-x^{2} seja menor que x (isto será verificado/usar-se-á na resolução).

Passo 2

Primeiro fazemos a integral interna em y, tratando x como constante. Para isso usamos a regra básica da antiderivada: para \displaystyle \int y\,dy a primitiva é \dfrac{y^{2}}{2}. Assim, para \displaystyle \int 4y\,dy temos
\int 4y\,dy = 4\cdot\frac{y^{2}}{2} = 2y^{2}.
Aplicamos agora os limites de y (de y=x até y=1-x^{2}):
\int_{x}^{1-x^{2}} 4y\,dy = \left.2y^{2}\right|_{y=x}^{y=1-x^{2}} = 2\bigl((1-x^{2})^{2} - x^{2}\bigr).

Passo 3

Simplificamos a expressão dentro do colchete. Primeiro expandimos (1-x^{2})^{2}:
(1-x^{2})^{2} = 1 - 2x^{2} + x^{4}.
Subtraindo x^{2} obtemos
(1-x^{2})^{2} - x^{2} = (1 - 2x^{2} + x^{4}) - x^{2} = 1 - 3x^{2} + x^{4}.
Multiplicando por 2 (lembrando que havia fator 2 fora):
2\bigl((1-x^{2})^{2} - x^{2}\bigr) = 2(1 - 3x^{2} + x^{4}) = 2 - 6x^{2} + 2x^{4}.
Portanto a integral dupla reduz-se à integral simples
\int_{1}^{2}\bigl(2 - 6x^{2} + 2x^{4}\bigr)\,dx.

Passo 4

Integramos termo a termo em x. As primitivas são:
\int 2\,dx = 2x,\qquad \int -6x^{2}\,dx = -6\cdot\frac{x^{3}}{3} = -2x^{3},\qquad \int 2x^{4}\,dx = 2\cdot\frac{x^{5}}{5} = \frac{2}{5}x^{5}.
Somando:
F(x)=2x-2x^{3}+\frac{2}{5}x^{5}
é uma primitiva de 2 - 6x^{2} + 2x^{4}. Avaliamos nos limites x=1 e x=2:
F(2)=2\cdot2-2\cdot2^{3}+\frac{2}{5}\cdot2^{5}=4-16+\frac{64}{5}=-12+\frac{64}{5}=\frac{4}{5},
F(1)=2\cdot1-2\cdot1^{3}+\frac{2}{5}\cdot1^{5}=2-2+\frac{2}{5}=\frac{2}{5}.
Subtraindo F(2)-F(1):
\int_{1}^{2}\bigl(2 - 6x^{2} + 2x^{4}\bigr)\,dx = \frac{4}{5}-\frac{2}{5}=\frac{2}{5}.

Passo 5

Comentário didático rápido e encorajador: apesar de para x\in[1,2] o limite superior em y, \,1-x^{2}\,, ser menor que o limite inferior x, a integral interna já leva isso em conta (resulta em valor negativo localmente), e o cálculo direto das primitivas dá o resultado correto. Bons passos: 1) integrar em y, 2) simplificar, 3) integrar em x.

Resposta

\dfrac{2}{5}

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