Forneça a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s) a seguir.
;
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede a derivada parcial mista indicada por
. Ou seja, precisamos calcular a derivada parcial de terceira ordem obtida ao derivar primeiro em relação a
, depois em relação a
e por fim em relação a
(seguindo a ordem dos índices apresentada).
Passo 2
Vou recordar duas ideias importantes e simples que vou usar:
- Definição de derivada parcial: a derivada parcial de
em relação a , denotada por , é a derivada de considerando e constantes. O mesmo vale para e . - Regra da cadeia para exponencial: se
e depende de variáveis, então
No nosso caso
. Aqui cada símbolo significa:
-
: as variáveis independentes. -
: a função interna do exponencial. -
: a composição a ser diferenciada.
Passo 3
Calcular
(derivada de
em relação a
):
Aplicando a regra da cadeia,
Passo 4
Calcular
(derivar
em relação a
):
Como e
, aplicando novamente a regra da cadeia,
Como
Passo 5
Calcular
(derivar
em relação a
):
Agora . A derivada de
em relação a
é
. Assim,
Agora
Passo 6
Comentário didático rápido e motivador: a função exponencial composta com um polinômio é infinitamente diferenciável, então as derivadas parciais de ordens mistos existem e a ordem de diferenciação não altera o resultado (teorema de igualdade das derivadas parciais mistas, às vezes chamado de teorema de Clairaut). Por isso obteríamos o mesmo
se tivéssemos derivado em outra ordem (por exemplo
depois
depois
).