Forneça a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s) a seguir.
f(x, y, z)=e^{x+y+2 z}; f_{x y z}

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x,y,z)=e^{x+y+2z}
e pede a derivada parcial mista indicada por f_{x y z}. Ou seja, precisamos calcular a derivada parcial de terceira ordem obtida ao derivar primeiro em relação a x, depois em relação a y e por fim em relação a z (seguindo a ordem dos índices apresentada).

Passo 2

Vou recordar duas ideias importantes e simples que vou usar:
  • Definição de derivada parcial: a derivada parcial de f em relação a x, denotada por f_x, é a derivada de f considerando y e z constantes. O mesmo vale para f_y e f_z.
  • Regra da cadeia para exponencial: se g(u)=e^{u} e u depende de variáveis, então
\frac{\partial}{\partial x}e^{u(x,y,z)}=e^{u(x,y,z)}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
No nosso caso u(x,y,z)=x+y+2z. Aqui cada símbolo significa:
  • x,y,z: as variáveis independentes.
  • u(x,y,z): a função interna do exponencial.
  • f(x,y,z)=e^{u(x,y,z)}: a composição a ser diferenciada.

Passo 3

Calcular f_x (derivada de f em relação a x):
u(x,y,z)=x+y+2z \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial u}{\partial x}=1.
Aplicando a regra da cadeia,
f_x=\frac{\partial}{\partial x}e^{u}=e^{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}=e^{x+y+2z}\cdot 1=e^{x+y+2z}.

Passo 4

Calcular f_{xy} (derivar f_x em relação a y):
Como f_x=e^{x+y+2z} e \partial (x+y+2z)/\partial y=1, aplicando novamente a regra da cadeia,
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x+y+2z}\bigr)=e^{x+y+2z}\cdot 1=e^{x+y+2z}.

Passo 5

Calcular f_{xyz} (derivar f_{xy} em relação a z):
Agora f_{xy}=e^{x+y+2z}. A derivada de x+y+2z em relação a z é 2. Assim,
f_{xyz}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(e^{x+y+2z}\bigr)=e^{x+y+2z}\cdot 2=2e^{x+y+2z}.

Passo 6

Comentário didático rápido e motivador: a função exponencial composta com um polinômio é infinitamente diferenciável, então as derivadas parciais de ordens mistos existem e a ordem de diferenciação não altera o resultado (teorema de igualdade das derivadas parciais mistas, às vezes chamado de teorema de Clairaut). Por isso obteríamos o mesmo 2e^{x+y+2z} se tivéssemos derivado em outra ordem (por exemplo f_z depois f_y depois f_x).

Resposta

f_{xyz}=2e^{x+y+2z}

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