Calcule:
\int_{0}^{2} \int_{y^{2}}^{2 y} 4 x-y d x d y

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\int_{0}^{2}\int_{y^{2}}^{2y} (4x - y)\,dx\,dy.
Informações fornecidas:
  • A variável externa é y que varia de 0 a 2.
  • Para cada y fixo, a variável interna x varia de x=y^{2} até x=2y.
  • O integrando é o polinômio 4x-y.
    A tarefa é calcular esse valor numérico da integral.

Passo 2

Estratégia: integrar primeiro em x (integral interna) e depois em y. Isso é válido porque o integrando é contínuo (é um polinômio), logo a integral iterada existe.
Primeiro, calcule a antiderivada de 4x-y em relação a x. Regras usadas:
  • \displaystyle \int x \,dx = \frac{x^{2}}{2} + C.
  • \displaystyle \int a\,dx = a x + C quando a é constante em relação a x.
    Aplicando:
\int (4x - y)\,dx = 4\int x\,dx - y\int 1\,dx = 4\cdot\frac{x^{2}}{2} - yx + C = 2x^{2} - yx + C.
Agora avalio essa primitiva entre os limites x=y^{2} e x=2y:
\bigl[2x^{2}-yx\bigr]_{x=y^{2}}^{x=2y} = \bigl(2(2y)^{2} - y(2y)\bigr) - \bigl(2(y^{2})^{2} - y(y^{2})\bigr).
Calcule cada parte com calma:
2(2y)^{2} - y(2y) = 2\cdot 4y^{2} - 2y^{2} = 8y^{2} - 2y^{2} = 6y^{2},
2(y^{2})^{2} - y(y^{2}) = 2y^{4} - y^{3}.
Subtraindo:
6y^{2} - \bigl(2y^{4} - y^{3}\bigr) = 6y^{2} - 2y^{4} + y^{3}.
Portanto a integral interna reduz a uma função só de y:
\int_{y^{2}}^{2y} (4x - y)\,dx = 6y^{2} + y^{3} - 2y^{4}.

Passo 3

Agora integro essa expressão em y no intervalo de 0 a 2:
\int_{0}^{2} \bigl(6y^{2} + y^{3} - 2y^{4}\bigr)\,dy.
Calcule antiderivadas termo a termo (lembrando \displaystyle \int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}):
\int 6y^{2}\,dy = 6\cdot\frac{y^{3}}{3} = 2y^{3},
\int y^{3}\,dy = \frac{y^{4}}{4},
\int -2y^{4}\,dy = -2\cdot\frac{y^{5}}{5} = -\frac{2y^{5}}{5}.
Somando as primitivadas:
\bigl[2y^{3} + \frac{y^{4}}{4} - \frac{2y^{5}}{5}\bigr]_{0}^{2}.

Passo 4

Avalio em y=2 e subtraio o valor em y=0 (que é zero):
Calcule termo a termo em y=2:
2y^{3}\Big|_{y=2} = 2\cdot 2^{3} = 2\cdot 8 = 16,
\frac{y^{4}}{4}\Big|_{y=2} = \frac{2^{4}}{4} = \frac{16}{4} = 4,
-\frac{2y^{5}}{5}\Big|_{y=2} = -\frac{2\cdot 2^{5}}{5} = -\frac{2\cdot 32}{5} = -\frac{64}{5}.
Somando:
16 + 4 - \frac{64}{5} = 20 - \frac{64}{5}.
Colocando em denominador comum:
20 = \frac{100}{5},\qquad \frac{100}{5} - \frac{64}{5} = \frac{36}{5}.

Resposta

\dfrac{36}{5}

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