Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
(limite inferior) e (limite superior).
A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral definida?
Passo 2
Estratégia (explicação didática das opções):
- Uma forma natural é usar uma substituição que simplifica a expressão: tomar
. Isso centraliza o polinômio em torno de zero e torna a integral mais simples. - Outra forma é expandir
em potências de e integrar termo a termo.
Vou fazer a substituição porque é curta e também comentar a propriedade de função ímpar que aparece, e depois mostrar rapidamente a expansão como verificação.
Lembrete teórico que vou usar (Teorema Fundamental do Cálculo):
Se é contínua em
e
é uma primitiva de
(ou seja,
), então
Se
Aqui usaremos primitiva de
(após substituição).
Passo 3
Fazer a substituição
.
- Então
. - Transformar os limites:
- Quando
, temos . - Quando
, temos .
A integral emtransforma-se em integral em :
- Quando
Passo 4
Observar a função integranda após substituição:
-
é uma função ímpar, ou seja, . - Para integrais simétricas com limites
, a integral de uma função ímpar é zero:
Como aqui os limites são
e
e
é ímpar, já podemos concluir que
Passo 5
Verificação calculando a primitiva explicitamente:
- Uma primitiva de
é , pois . - Avaliando nos limites:
Isso confirma o resultado anterior.
Passo 6
(Verificação alternativa pela expansão)
- Expandindo
temos - Integrando termo a termo:
- Avaliando em
e e subtraindo dá exatamente (os cálculos dão cancelamento), confirmando novamente o resultado.