Calcule:
\int_{1}^{3}(z-2)^{3} d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{3} (z-2)^{3}\,dz.
Informações dadas:
  • O integrando é (z-2)^{3}.
  • Os limites de integração são z=1 (limite inferior) e z=3 (limite superior).
    A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral definida?

Passo 2

Estratégia (explicação didática das opções):
  • Uma forma natural é usar uma substituição que simplifica a expressão: tomar u=z-2. Isso centraliza o polinômio em torno de zero e torna a integral mais simples.
  • Outra forma é expandir (z-2)^{3} em potências de z e integrar termo a termo.
    Vou fazer a substituição porque é curta e também comentar a propriedade de função ímpar que aparece, e depois mostrar rapidamente a expansão como verificação.
Lembrete teórico que vou usar (Teorema Fundamental do Cálculo):
Se f é contínua em [a,b] e F é uma primitiva de f (ou seja, F'(x)=f(x)), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui usaremos primitiva de u^3 (após substituição).

Passo 3

Fazer a substituição \,u=z-2\,.
  • Então \,du=dz\,.
  • Transformar os limites:
    • Quando z=1, temos u=1-2=-1.
    • Quando z=3, temos u=3-2=1.
      A integral em z transforma-se em integral em u:
\int_{1}^{3} (z-2)^{3}\,dz = \int_{-1}^{1} u^{3}\,du.

Passo 4

Observar a função integranda após substituição:
  • u^{3} é uma função ímpar, ou seja, u^{3} = -(-u)^{3}.
  • Para integrais simétricas com limites [-a,a], a integral de uma função ímpar é zero: \int_{-a}^{a} \text{(função ímpar)}\,du = 0.çãí
Como aqui os limites são -1 e 1 e u^{3} é ímpar, já podemos concluir que
\int_{-1}^{1} u^{3}\,du = 0.

Passo 5

Verificação calculando a primitiva explicitamente:
  • Uma primitiva de u^{3} é \dfrac{u^{4}}{4}, pois \dfrac{d}{du}\!\left(\dfrac{u^{4}}{4}\right)=u^{3}.
  • Avaliando nos limites: \int_{-1}^{1} u^{3}\,du = \left.\dfrac{u^{4}}{4}\right|_{-1}^{1} = \dfrac{1^{4}}{4}-\dfrac{(-1)^{4}}{4} = \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}=0.
Isso confirma o resultado anterior.

Passo 6

(Verificação alternativa pela expansão)
  • Expandindo (z-2)^{3} temos (z-2)^{3} = z^{3}-6z^{2}+12z-8.
  • Integrando termo a termo: \int_{1}^{3} (z^{3}-6z^{2}+12z-8)\,dz = \left.\left(\dfrac{z^{4}}{4}-2z^{3}+6z^{2}-8z\right)\right|_{1}^{3}.
  • Avaliando em z=3 e z=1 e subtraindo dá exatamente 0 (os cálculos dão cancelamento), confirmando novamente o resultado.

Resposta

0

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