Calcule as integrais:
integral sec ^2(x^2) d x

Passo 1

O problema pede a antiderivada da função sec^2l(x^2r). O conteúdo envolvido é reconhecimento de primitiva por substituição ou por identificação de derivada conhecida. Vamos tentar encontrar alguma substituição ou reconhecer alguma derivada padrão.

Passo 2

Tentar a substituição usual
u = x^2
implica
du = 2x,dx
ou seja,
dx = du2x
Como na integral original não aparece o fator x multiplicando dx, essa substituição não elimina todas as dependências de x e portanto não leva a uma primitiva elementar.

Passo 3

Observar a derivada de tanl(x^2r):
ddxtanl(x^2r) = 2x;sec^2l(x^2r)
Isso mostra que
sec^2l(x^2r) = 12x,ddxtanl(x^2r),
mas de novo aparece o fator 1/x, que impede a obtenção de uma expressão puramente em dx.

Passo 4

Concluímos que a integral
integral sec^2l(x^2r),dx
não pode ser expressa em termos de funções elementares clássicas. A forma mais simples de representá-la é definir uma função especial, digamos
F(x)=integral0^xsec^2l(t^2r),dt,
cuja derivada é exatamente sec^2(x^2).

Resposta

integral sec^2l(x^2r),dx = F(x) + C,
onde
F(x)=integral0^xsec^2l(t^2r),dt
é uma primitiva não elementar.

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