Calcule as integrais.
[1,0 \mathrm{pt}] \int_{1}^{2} \int_{1}^{3} 3 x^{2} y^{3} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{1}^{2}\int_{1}^{3} 3x^{2}y^{3}\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \;3x^{2}y^{3}\;.
  • O integral interno é em y com limites \;y=1 até \;y=3\;.
  • O integral externo é em x com limites \;x=1 até \;x=2\;.
  • A ordem de integração é primeiro em y (para cada x fixo) e depois em x.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos):
  • Regra do fator constante: se uma expressão depende de x e integramos em y, então x é tratado como constante. Assim,
\int 3x^{2}y^{3}\,dy = 3x^{2}\int y^{3}\,dy.
  • Regra da potência para primitivas: para \;n\neq -1,
\int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1} + C.
No nosso caso usamos n=3, então \int y^{3}\,dy = \frac{y^{4}}{4}.
Pequeno exemplo para fixar: \int 5y^{2}\,dy = 5\cdot\frac{y^{3}}{3}.

Passo 3

Calcular o integral interno em y:
\int_{1}^{3} 3x^{2}y^{3}\,dy = 3x^{2}\int_{1}^{3} y^{3}\,dy.
Usando a primitiva de y^{3}:
3x^{2}\left[\frac{y^{4}}{4}\right]_{y=1}^{y=3} = 3x^{2}\left(\frac{3^{4}}{4}-\frac{1^{4}}{4}\right).
Calcule 3^{4}=81 e 1^{4}=1:
3x^{2}\left(\frac{81-1}{4}\right) = 3x^{2}\left(\frac{80}{4}\right) = 3x^{2}\cdot 20 = 60x^{2}.
Portanto o integral interno resulta em \;60x^{2}\;.

Passo 4

Agora integramos em x de \;x=1 até \;x=2:
\int_{1}^{2} 60x^{2}\,dx = 60\int_{1}^{2} x^{2}\,dx.
Aplicando a primitiva de x^{2}, que é \frac{x^{3}}{3}:
60\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{2} = 60\left(\frac{2^{3}}{3}-\frac{1^{3}}{3}\right).
Calcule 2^{3}=8 e 1^{3}=1:
60\left(\frac{8-1}{3}\right) = 60\left(\frac{7}{3}\right) = 60\cdot\frac{7}{3} = 20\cdot 7 = 140.

Passo 5

Resumo do raciocínio para decorar: integrar primeiro em y tratando x como constante, usar a regra da potência para obter uma expressão em x (aqui 60x^{2}), e então integrar essa expressão em x. Pronto — é só aplicar cuidadosamente as primitivas e avaliar os limites.

Resposta

140

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