[2,0 pts] Usando coordenadas cilíndricas calcule \iiint_{B} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x d y d z, onde B é o conjunto dos pontos (x, y, z) que satisfazem x^{2}+y^{2} \leq 1 e x^{2}+y^{2} \leq z \leq 2.
A projeção no plano xy é o disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}.
Para cada ponto com coordenadas (x,y) no disco, a coordenada z varia de z=x^{2}+y^{2} até z=2.
A função a integrar é \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Passo 2
Vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas definimos
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,
onde r\ge 0, \theta\in[0,2\pi) e z é a altura. Explicando devagar:
r é a distância do ponto à origem no plano xy (ou seja r=\sqrt{x^2+y^2}).
\theta é o ângulo polar no plano xy.
A diferencial de volume em coordenadas cilíndricas vale
dV = r\,dr\,d\theta\,dz,
porque o fator r é o Jacobiano da transformação (ele aparece por causa do alongamento dos anéis circulares ao transformar dr\,d\theta em área).
Passo 3
Transformamos a região B nos limites em coordenadas cilíndricas:
A condição x^{2}+y^{2}\le 1 vira r^{2}\le 1, ou seja 0\le r\le 1.
A condição x^{2}+y^{2}\le z\le 2 vira r^{2}\le z\le 2.
Como o disco é completo, \theta varia por todo [0,2\pi].
Portanto os limites são \theta\in[0,2\pi], r\in[0,1] e z\in[r^{2},2].
Passo 4
Transformamos a função integranda: \sqrt{x^{2}+y^{2}} = r. Multiplicando pelo Jacobiano r obtemos o integrando em cilíndricas igual a r\cdot r = r^{2}. Assim a integral fica