[2,0 pts] Usando coordenadas cilíndricas calcule \iiint_{B} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x d y d z, onde B é o conjunto dos pontos (x, y, z) que satisfazem x^{2}+y^{2} \leq 1 e x^{2}+y^{2} \leq z \leq 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{B} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy\,dz,
onde B é o conjunto dos pontos (x,y,z) tais que
x^{2}+y^{2}\le 1 \quad\text{e}\quad x^{2}+y^{2}\le z\le 2.
Informações relevantes dadas:
  • A projeção no plano xy é o disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}.
  • Para cada ponto com coordenadas (x,y) no disco, a coordenada z varia de z=x^{2}+y^{2} até z=2.
  • A função a integrar é \sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 2

Vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas definimos
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,
onde r\ge 0, \theta\in[0,2\pi) e z é a altura. Explicando devagar:
  • r é a distância do ponto à origem no plano xy (ou seja r=\sqrt{x^2+y^2}).
  • \theta é o ângulo polar no plano xy.
    A diferencial de volume em coordenadas cilíndricas vale
dV = r\,dr\,d\theta\,dz,
porque o fator r é o Jacobiano da transformação (ele aparece por causa do alongamento dos anéis circulares ao transformar dr\,d\theta em área).

Passo 3

Transformamos a região B nos limites em coordenadas cilíndricas:
  • A condição x^{2}+y^{2}\le 1 vira r^{2}\le 1, ou seja 0\le r\le 1.
  • A condição x^{2}+y^{2}\le z\le 2 vira r^{2}\le z\le 2.
  • Como o disco é completo, \theta varia por todo [0,2\pi].
    Portanto os limites são \theta\in[0,2\pi], r\in[0,1] e z\in[r^{2},2].

Passo 4

Transformamos a função integranda: \sqrt{x^{2}+y^{2}} = r. Multiplicando pelo Jacobiano r obtemos o integrando em cilíndricas igual a r\cdot r = r^{2}. Assim a integral fica
\iiint_{B} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{r^{2}}^{2} r^{2}\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcule a integral interna em z. Como r^{2} é constante em relação a z,
\int_{r^{2}}^{2} r^{2}\,dz = r^{2}\bigl[z\bigr]_{z=r^{2}}^{z=2} = r^{2}(2 - r^{2}).
Expliquei: integramos uma constante r^{2} em z, o resultado é essa constante vezes o comprimento do intervalo em z.

Passo 6

Agora integramos em r:
\int_{0}^{1} r^{2}(2 - r^{2})\,dr = \int_{0}^{1} (2r^{2} - r^{4})\,dr.
Calcule termo a termo os antiderivados:
\int 2r^{2}\,dr = 2\cdot\frac{r^{3}}{3} = \frac{2}{3}r^{3},\qquad \int r^{4}\,dr = \frac{r^{5}}{5}.
Avalia em 0 a 1:
\left(\frac{2}{3}r^{3}-\frac{r^{5}}{5}\right)\Bigg|_{0}^{1} = \frac{2}{3}-\frac{1}{5}.
Faça a subtração com denominador comum 15:
\frac{2}{3}-\frac{1}{5} = \frac{10}{15}-\frac{3}{15} = \frac{7}{15}.

Passo 7

Por fim, integramos em \theta. A integral em \theta simplesmente multiplica por 2\pi:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Multiplicando pelo resultado em r obtemos
2\pi\cdot \frac{7}{15} = \frac{14\pi}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{14\pi}{15}

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