Considere a função f(x, y)=x^{4}-32 x^{2}+y^{2}.
  • (a) [1,0 \mathrm{pt}] Encontre os pontos críticos de f.
  • (b) [1,0 \mathrm{pt}] Estude os pontos críticos de f em relação a máximos e mínimos.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{4}-32x^{2}+y^{2} definida em todo o plano \mathbb{R}^{2}. As perguntas são:
  • (a) Encontrar os pontos críticos de f.
  • (b) Classificar esses pontos críticos quanto a máximos, mínimos ou pontos de sela.
Informações relevantes: a função está explícita; presumimos domínio \mathbb{R}^{2}. Não há restrições adicionais.

Passo 2

Definição e cálculo dos pontos críticos — passo a passo.
  • Conceito rápido (didático): um ponto [(x,y)) é crítico se o gradiente de f em (x,y) for o vetor nulo, isto é, se as derivadas parciais primeiras se anularem simultaneamente. O gradiente é \nabla f=(f_x,f_y), onde f_x é a derivada de f em relação a x e f_y a derivada em relação a y.
  • Vamos calcular as derivadas parciais. Derivando termo a termo:
f(x,y)=x^{4}-32x^{2}+y^{2}.
Derivada parcial em relação a x:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{4}-32x^{2}+y^{2}\bigr)=4x^{3}-64x.
Aqui eu usei que \frac{d}{dx}x^{4}=4x^{3} e \frac{d}{dx}(-32x^{2})=-64x; o termo y^{2} é constante quando derivamos em relação a x.
Derivada parcial em relação a y:
f_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{4}-32x^{2}+y^{2}\bigr)=2y.
  • Para pontos críticos resolvemos o sistema \nabla f=(0,0), isto é
\begin{cases} 4x^{3}-64x=0,\\[4pt] 2y=0. \end{cases}
Simplificando a primeira equação fatorando (4x]:
4x(x^{2}-16)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0\\ \text{ou}\\ x^{2}=16 \Rightarrow x=0,\\ x=4,\\ x=-4.
Da segunda equação obtemos y=0.
  • Portanto os pontos críticos são
(0,0),\qquad (4,0),\qquad (-4,0).]

Passo 3

Preparação para classificar os pontos críticos — teoria necessária.
  • Teoria (didática e simples): para funções f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} suficientemente suaves, calculamos a matriz Hessiana H das segundas derivadas:
H=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\[4pt] f_{yx} & f_{yy}\end{pmatrix}.
No caso 2\times2, definimos D=\det H = f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}. O teste das segundas derivadas diz:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então ponto crítico é mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então ponto crítico é máximo local.
  • Se D<0 então é ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Explico o porquê em palavras: D>0 significa que a curvatura nas duas direções tem o mesmo sinal; o sinal de f_{xx} indica se essa curvatura é positiva (forma de tigela → mínimo) ou negativa (forma de cúpula → máximo). D<0 significa curvaturas de sinais opostos → sela.]

Passo 4

Calcular as segundas derivadas (Hessiano) e aplicar o teste em cada ponto.
  • Primeiro calculemos as derivadas segundas gerais:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(4x^{3}-64x)=12x^{2}-64,
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(2y)=2,
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(4x^{3}-64x)=0\quad\text{(pois não há \(y\) nesses termos).}ãá
Assim o Hessiano é diagonal:
H=\begin{pmatrix}12x^{2}-64 & 0\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.
O determinante é
D = (12x^{2}-64)\cdot 2 - 0 = 2(12x^{2}-64)=24x^{2}-128.
Agora avaliamos em cada ponto crítico.]

Passo 5

Classificação em (0,0).
  • Em x=0 temos:
f_{xx}(0,0)=12\cdot 0^{2}-64=-64,
f_{yy}(0,0)=2,
D(0,0)=24\cdot 0^{2}-128=-128<0.
  • Conclusão pelo teste: como D<0, o ponto (0,0) é um ponto de sela. Intuitivamente, numa direção a função sobe e noutra desce.

Passo 6

Classificação em (4,0).
  • Em x=4 (note que 4^{2}=16):
f_{xx}(4,0)=12\cdot 16-64=192-64=128>0,
f_{yy}(4,0)=2>0,
D(4,0)=24\cdot 16-128=384-128=256>0.
  • Como D>0 e f_{xx}>0, pelo teste das segundas derivadas (4,0) é um mínimo local.

Passo 7

Classificação em (-4,0).
  • Em x=-4 temos x^{2}=16 novamente, então os mesmos números aparecem:
f_{xx}(-4,0)=128>0,\qquad f_{yy}(-4,0)=2,\qquad D(-4,0)=256>0.
  • Portanto (-4,0) também é um mínimo local.

Passo 8

Observação sobre mínimos globais (opcional mas útil para a prova).
  • Para qualquer x fixo, o termo y^{2} é mínimo em y=0. Então, para achar o menor valor possível de f no plano, basta olhar a função unidimensional
g(x)=f(x,0)=x^{4}-32x^{2}.
  • Derivando g temos g'(x)=4x^{3}-64x=4x(x^{2}-16), que se anula em x=0,\pm4 (mesmos pontos). Avaliando g nesses pontos:
g(0)=0,\qquad g(4)=4^{4}-32\cdot 4^{2}=256-512=-256,
g(-4)=(-4)^{4}-32\cdot(-4)^{2}=256-512=-256.
  • Como g(x)\to +\infty quando |x|\to\infty (o termo x^{4} domina), os valores -256 em x=\pm4 são realmente os valores mínimos globais de g, e como para cada x o mínimo em y é y=0, concluímos que (4,0) e (-4,0) são mínimos globais de f com valor -256. O ponto (0,0) f(0,0)=0, que é maior que -256.

Resposta

(a) Os pontos críticos são (0,0), (4,0) e (-4,0).
(b) (0,0) é ponto de sela. (4,0) e (-4,0) são mínimos locais — na verdade mínimos globais — com f(4,0)=f(-4,0)=-256.

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