Considere a função
.
- (a)
Encontre os pontos críticos de
.
- (b)
Estude os pontos críticos de
em relação a máximos e mínimos.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida em todo o plano
. As perguntas são:
- (a) Encontrar os pontos críticos de
. - (b) Classificar esses pontos críticos quanto a máximos, mínimos ou pontos de sela.
Informações relevantes: a função está explícita; presumimos domínio
. Não há restrições adicionais.
Passo 2
Definição e cálculo dos pontos críticos — passo a passo.
-
Conceito rápido (didático): um ponto [(x,y)) é crítico se o gradiente de
em for o vetor nulo, isto é, se as derivadas parciais primeiras se anularem simultaneamente. O gradiente é , onde é a derivada de em relação a e a derivada em relação a . -
Vamos calcular as derivadas parciais. Derivando termo a termo:
Derivada parcial em relação a
:
Aqui eu usei que
e
; o termo
é constante quando derivamos em relação a
.
Derivada parcial em relação a
:
- Para pontos críticos resolvemos o sistema
, isto é
Simplificando a primeira equação fatorando (4x]:
Da segunda equação obtemos
.
- Portanto os pontos críticos são
Passo 3
Preparação para classificar os pontos críticos — teoria necessária.
- Teoria (didática e simples): para funções
suficientemente suaves, calculamos a matriz Hessiana das segundas derivadas:
No caso
, definimos
. O teste das segundas derivadas diz:
- Se
e então ponto crítico é mínimo local. - Se
e então ponto crítico é máximo local. - Se
então é ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Explico o porquê em palavras:
significa que a curvatura nas duas direções tem o mesmo sinal; o sinal de
indica se essa curvatura é positiva (forma de tigela → mínimo) ou negativa (forma de cúpula → máximo).
significa curvaturas de sinais opostos → sela.]
Passo 4
Calcular as segundas derivadas (Hessiano) e aplicar o teste em cada ponto.
- Primeiro calculemos as derivadas segundas gerais:
Assim o Hessiano é diagonal:
O determinante é
Agora avaliamos em cada ponto crítico.]
Passo 5
Classificação em
.
- Em
temos:
- Conclusão pelo teste: como
, o ponto é um ponto de sela. Intuitivamente, numa direção a função sobe e noutra desce.
Passo 6
Classificação em
.
- Em
(note que ):
- Como
e , pelo teste das segundas derivadas é um mínimo local.
Passo 7
Classificação em
.
- Em
temos novamente, então os mesmos números aparecem:
- Portanto
também é um mínimo local.
Passo 8
Observação sobre mínimos globais (opcional mas útil para a prova).
- Para qualquer
fixo, o termo é mínimo em . Então, para achar o menor valor possível de no plano, basta olhar a função unidimensional
- Derivando
temos , que se anula em (mesmos pontos). Avaliando nesses pontos:
- Como
quando (o termo domina), os valores em são realmente os valores mínimos globais de , e como para cada o mínimo em é , concluímos que e são mínimos globais de com valor . O ponto dá , que é maior que .
Resposta
(a) Os pontos críticos são
,
e
.
(b)
é ponto de sela.
e
são mínimos locais — na verdade mínimos globais — com
.