Calcule as integrais abaixo:
[1,0] \iint_{D} y \operatorname{sen} x d A) onde D é a região limitada por
,
e
[1,0] \iint_{D} y \operatorname{sen} x d A) onde D é a região limitada por
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde a região
é limitada por
,
e
. Informações importantes dadas:
- A curva
é uma parábola voltada para a direita. - A reta vertical
intercepta a parábola em . - A reta
é o eixo ; as interseções com as outras curvas ocorrem em e .
O objetivo é calcular o valor numérico da integral dupla sobre essa região.
Passo 2
Vamos descrever
de forma conveniente para integrar. Para um
fixo com
,
varia entre a parábola e a reta vertical:
Essa escolha (integrar primeiro em
, depois em
) é conveniente porque, no integrando
,
é constante quando integramos em
e
tem primitiva simples.
Passo 3
Montando a integral com essa ordem:
Passo 4
Calcule a integral interna em
. Como
é constante em relação a
,
Agora avalia:
Portanto a integral dupla reduz-se a
Passo 5
Resolver a integral em
por substituição. Seja
. Então
Mudando os limites: quando
temos
; quando
temos
. Assim
Passo 6
Calcule a integral em
:
Dica rápida para a prova: ao ver um integrando do tipo
com limites que envolvem
, pense em separar a integração por variáveis ou procurar substituição do tipo
depois de integrar em
.