Calcule as integrais abaixo:
[1,0] \iint_{D} y \operatorname{sen} x d A) onde D é a região limitada por x=\frac{\pi}{2}, x=y^{2} e y=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} y\sin x\,dA
onde a região D é limitada por x=\dfrac{\pi}{2}, x=y^{2} e y=0. Informações importantes dadas:
  • A curva x=y^{2} é uma parábola voltada para a direita.
  • A reta vertical x=\dfrac{\pi}{2} intercepta a parábola em y=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}.
  • A reta y=0 é o eixo x; as interseções com as outras curvas ocorrem em (0,0) e \left(\dfrac{\pi}{2},0\right).
    O objetivo é calcular o valor numérico da integral dupla sobre essa região.

Passo 2

Vamos descrever D de forma conveniente para integrar. Para um y fixo com 0\le y\le \sqrt{\dfrac{\pi}{2}}, x varia entre a parábola e a reta vertical:
y\in\left[0,\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}\right],\qquad x\in\left[y^{2},\dfrac{\pi}{2}\right].
Essa escolha (integrar primeiro em x, depois em y) é conveniente porque, no integrando y\sin x, y é constante quando integramos em x e \sin x tem primitiva simples.

Passo 3

Montando a integral com essa ordem:
\iint_{D} y\sin x\,dA = \int_{y=0}^{\sqrt{\pi/2}}\left(\int_{x=y^{2}}^{\pi/2} y\sin x\,dx\right)dy.

Passo 4

Calcule a integral interna em x. Como y é constante em relação a x,
\int_{x=y^{2}}^{\pi/2} y\sin x\,dx = y\int_{y^{2}}^{\pi/2}\sin x\,dx = y\bigl[-\cos x\bigr]_{x=y^{2}}^{x=\pi/2}.
Agora avalia:
y\bigl(-\cos(\pi/2)+\cos(y^{2})\bigr)=y\bigl(0+\cos(y^{2})\bigr)=y\cos(y^{2}).
Portanto a integral dupla reduz-se a
\int_{0}^{\sqrt{\pi/2}} y\cos(y^{2})\,dy.

Passo 5

Resolver a integral em y por substituição. Seja u=y^{2}. Então
du=2y\,dy\quad\Rightarrow\quad y\,dy=\dfrac{du}{2}.
Mudando os limites: quando y=0 temos u=0; quando y=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}} temos u=\dfrac{\pi}{2}. Assim
\int_{0}^{\sqrt{\pi/2}} y\cos(y^{2})\,dy = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\cos u\,du.

Passo 6

Calcule a integral em u:
\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\cos u\,du = \frac{1}{2}\bigl[\sin u\bigr]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{2}\bigl(\sin(\tfrac{\pi}{2})-\sin 0\bigr) = \frac{1}{2}(1-0)=\frac{1}{2}.
Dica rápida para a prova: ao ver um integrando do tipo y\cdot f(x) com limites que envolvem y^{2}, pense em separar a integração por variáveis ou procurar substituição do tipo u=y^{2} depois de integrar em x.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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