[1,5] Determine os extremos globais da função f(x, y)=\sin x+y^{2} na região D=[0, \pi] \times[0,1].

Passo 1

O enunciado pede para determinar os extremos globais da função f(x,y)=\sin x + y^{2} na região D=[0,\pi]\times[0,1].
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=\sin x + y^{2}.
  • O domínio é o retângulo fechado [0,\pi]\times[0,1].
O que é solicitado:
  • Identificar os pontos em D onde f atinge o(s) mínimo(s) global(is) e o(s) máximo(s) global(is), e os respectivos valores de f nesses pontos.

Passo 2

Por que procurar pontos críticos e também a fronteira?
Teorema útil: uma função contínua em um conjunto compacto (como D) atinge máximo e mínimo globais. Esses extremos ocorrem ou em pontos críticos do interior (onde o gradiente é nulo) ou na fronteira do conjunto. Então precisamos:
  1. procurar pontos críticos no interior (0,\pi)\times(0,1);
  2. examinar a função restrita às arestas (fronteira) do retângulo.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais (gradiente). Aqui é preciso lembrar como diferenciar:
  • A derivada parcial em relação a x trata y como constante.
  • A derivada parcial em relação a y trata x como constante.
As derivadas parciais são
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(\sin x + y^{2})=\cos x,
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(\sin x + y^{2})=2y.

Passo 4

Procurar pontos críticos no interior: resolver \nabla f=(0,0) com x\in(0,\pi) e y\in(0,1).
\cos x=0,\qquad 2y=0.
Da segunda equação obtemos y=0, que não pertence ao intervalo aberto (0,1). Portanto não há pontos críticos no interior do retângulo. Conclusão: quaisquer extremos globais estão na fronteira de D.

Passo 5

Analisar a fronteira de D. A fronteira consiste em quatro arestas:
  • Aresta A: y=0, com x\in[0,\pi].
  • Aresta B: y=1, com x\in[0,\pi].
  • Aresta C: x=0, com y\in[0,1].
  • Aresta D: x=\pi, com y\in[0,1].
Em cada caso reduzimos a função a uma função de uma variável e procuramos seus extremos no intervalo correspondente.

Passo 6

Aresta A ( y=0): então
f(x,0)=\sin x,\qquad x\in[0,\pi].
Conhecemos a função seno nesse intervalo: atinge máximo 1 em x=\pi/2 e mínimo 0 em x=0 e x=\pi. Assim, pontos e valores:
(\tfrac{\pi}{2},0)\mapsto f=1,\qquad (0,0)\mapsto f=0,\qquad (\pi,0)\mapsto f=0.

Passo 7

Aresta B ( y=1): então
f(x,1)=\sin x + 1,\qquad x\in[0,\pi].
Isto é simplesmente a função \sin x deslocada para cima em 1. Logo o máximo ocorre em x=\pi/2 com valor 1+1=2, e o mínimo em x=0 ou x=\pi com valor 0+1=1. Pontos:
(\tfrac{\pi}{2},1)\mapsto f=2,\qquad (0,1)\mapsto f=1,\qquad (\pi,1)\mapsto f=1.

Passo 8

Aresta C ( x=0): então
f(0,y)=\sin 0 + y^{2}=y^{2},\qquad y\in[0,1].
A função y^{2} em [0,1] é crescente (derivada 2y\ge 0), logo mínimo em y=0 com valor 0 e máximo em y=1 com valor 1. Pontos:
(0,0)\mapsto f=0,\qquad (0,1)\mapsto f=1.

Passo 9

Aresta D ( x=\pi): então
f(\pi,y)=\sin\pi + y^{2}=y^{2},\qquad y\in[0,1],
mesma análise que em x=0. Pontos:
(\pi,0)\mapsto f=0,\qquad (\pi,1)\mapsto f=1.

Passo 10

Reunir todos os candidatos e comparar valores:
  • f(\tfrac{\pi}{2},1)=2.
  • f(\tfrac{\pi}{2},0)=1.
  • f(0,1)=1,\\ f(\pi,1)=1.
  • f(0,0)=0,\\ f(\pi,0)=0.
Além disso, por observação direta, para (x,y)\in D vale \sin x\ge 0 e y^{2}\ge 0, portanto f(x,y)\ge 0 em D. Assim o menor valor possível é 0, obtido exatamente quando y=0 e \sin x=0, isto é em x=0 ou x=\pi. O maior valor encontrado entre os candidatos é 2 em (\tfrac{\pi}{2},1). Não há outros pontos com valor maior que 2 nem menor que 0.

Resposta

Máximo global: \left(\tfrac{\pi}{2},1\right) com valor 2.
Mínimos globais: (0,0) e (\pi,0), ambos com valor 0.

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