[1,5] Determine os extremos globais da função
na região
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os extremos globais da função
na região
.
Informações dadas:
- A função é
. - O domínio é o retângulo fechado
.
O que é solicitado:
- Identificar os pontos em
onde atinge o(s) mínimo(s) global(is) e o(s) máximo(s) global(is), e os respectivos valores de nesses pontos.
Passo 2
Por que procurar pontos críticos e também a fronteira?
Teorema útil: uma função contínua em um conjunto compacto (como ) atinge máximo e mínimo globais. Esses extremos ocorrem ou em pontos críticos do interior (onde o gradiente é nulo) ou na fronteira do conjunto. Então precisamos:
Teorema útil: uma função contínua em um conjunto compacto (como
- procurar pontos críticos no interior
; - examinar a função restrita às arestas (fronteira) do retângulo.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais (gradiente). Aqui é preciso lembrar como diferenciar:
- A derivada parcial em relação a
trata como constante. - A derivada parcial em relação a
trata como constante.
As derivadas parciais são
Passo 4
Procurar pontos críticos no interior: resolver
com
e
.
Da segunda equação obtemos
, que não pertence ao intervalo aberto
. Portanto não há pontos críticos no interior do retângulo. Conclusão: quaisquer extremos globais estão na fronteira de
.
Passo 5
Analisar a fronteira de
. A fronteira consiste em quatro arestas:
- Aresta A:
, com . - Aresta B:
, com . - Aresta C:
, com . - Aresta D:
, com .
Em cada caso reduzimos a função a uma função de uma variável e procuramos seus extremos no intervalo correspondente.
Passo 6
Aresta A (
): então
Conhecemos a função seno nesse intervalo: atinge máximo
em
e mínimo
em
e
. Assim, pontos e valores:
Passo 7
Aresta B (
): então
Isto é simplesmente a função
deslocada para cima em
. Logo o máximo ocorre em
com valor
, e o mínimo em
ou
com valor
. Pontos:
Passo 8
Aresta C (
): então
A função
em
é crescente (derivada
), logo mínimo em
com valor
e máximo em
com valor
. Pontos:
Passo 9
Aresta D (
): então
mesma análise que em
. Pontos:
Passo 10
Reunir todos os candidatos e comparar valores:
-
. -
. -
. -
.
Além disso, por observação direta, para
vale
e
, portanto
em
. Assim o menor valor possível é
, obtido exatamente quando
e
, isto é em
ou
. O maior valor encontrado entre os candidatos é
em
. Não há outros pontos com valor maior que
nem menor que
.
Resposta
Máximo global:
com valor
.
Mínimos globais:
e
, ambos com valor
.