Considere a função f(x, y)=\left(x^{2}+1\right)^{2}+x y+y.
a) [1,0] Encontre os pontos críticos da função.
b) [\mathbf{1 , 0}] Classifique o(s) ponto(s) crítico(s) encontrado(s).
Passo 1
O enunciado dá a função f(x,y)=\left(x^{2}+1\right)^{2}+x y+y e pede duas coisas:
(a) Encontrar os pontos críticos de f.
(b) Classificar o(s) ponto(s) crítico(s) encontrado(s) (mínimo, máximo ou ponto de sela).
As informações relevantes são apenas a expressão de f(x,y) acima.
Passo 2
O que é um ponto crítico (aula rápida e prática): um ponto (x_0,y_0) é crítico se o gradiente de f em (x_0,y_0) é o vetor nulo. O gradiente é formado pelas derivadas parciais:
Vou mostrar como calcular cada derivada parcial passo a passo.
Passo 3
Calcular \frac{\partial f}{\partial x}. Começando de f(x,y)=\left(x^{2}+1\right)^{2}+x y+y:
A derivada de \left(x^{2}+1\right)^{2} em relação a x: usar a regra da cadeia. Se g(x)=\left(x^{2}+1\right)^{2}, então g'(x)=2\left(x^{2}+1\right)\cdot(2x)=4x\left(x^{2}+1\right).
A derivada de x y em relação a x é y (tratando y como constante).
Agora vamos classificar o ponto crítico. A técnica padrão em duas variáveis usa a matriz Hessiana (matriz das segundas derivadas) e o teste das segundas derivadas. Vou explicar isso devagar.
Como D<0, pelo teste das segundas derivadas o ponto (-1,8) é um ponto de sela.
Passo 9
Para fixar a intuição (extra didática, bem simples): aproximando f perto de (-1,8) pela expansão de segunda ordem (como na prova do teste) e ignorando termos de ordem superior, o termo quadrático é
Escolhendo, por exemplo, k=0 dá Q=8h^{2}>0 quando h\neq0; escolhendo k=-9h dá Q=8h^{2}-9h^{2}=-h^{2}<0 quando h\neq0. Como há direções com curvatura positiva e outras com curvatura negativa, isso confirma que o ponto é de sela (troca de sinal do segundo termo).]