Considere a função f(x, y)=\left(x^{2}+1\right)^{2}+x y+y.
a) [1,0] Encontre os pontos críticos da função.
b) [\mathbf{1 , 0}] Classifique o(s) ponto(s) crítico(s) encontrado(s).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\left(x^{2}+1\right)^{2}+x y+y e pede duas coisas:
  • (a) Encontrar os pontos críticos de f.
  • (b) Classificar o(s) ponto(s) crítico(s) encontrado(s) (mínimo, máximo ou ponto de sela).
As informações relevantes são apenas a expressão de f(x,y) acima.

Passo 2

O que é um ponto crítico (aula rápida e prática): um ponto (x_0,y_0) é crítico se o gradiente de f em (x_0,y_0) é o vetor nulo. O gradiente é formado pelas derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Então, para achar pontos críticos, precisamos calcular \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} e resolver o sistema
\frac{\partial f}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=0.
Vou mostrar como calcular cada derivada parcial passo a passo.

Passo 3

Calcular \frac{\partial f}{\partial x}. Começando de f(x,y)=\left(x^{2}+1\right)^{2}+x y+y:
  • A derivada de \left(x^{2}+1\right)^{2} em relação a x: usar a regra da cadeia. Se g(x)=\left(x^{2}+1\right)^{2}, então g'(x)=2\left(x^{2}+1\right)\cdot(2x)=4x\left(x^{2}+1\right).
  • A derivada de x y em relação a x é y (tratando y como constante).
  • A derivada de y em relação a x é 0.
Portanto,
\frac{\partial f}{\partial x}=4x\left(x^{2}+1\right)+y.

Passo 4

Calcular \frac{\partial f}{\partial y}. Da expressão f(x,y)=\left(x^{2}+1\right)^{2}+x y+y:
  • A derivada de \left(x^{2}+1\right)^{2} em relação a y é 0 (não depende de y).
  • A derivada de x y em relação a y é x.
  • A derivada de y em relação a y é 1.
Portanto,
\frac{\partial f}{\partial y}=x+1.

Passo 5

Agora resolvemos o sistema das equações parciais iguais a zero:
4x\left(x^{2}+1\right)+y=0,\qquad x+1=0.
Da segunda equação obtemos diretamente x=-1. Substituindo em \frac{\partial f}{\partial x}=0:
4(-1)\big((-1)^{2}+1\big)+y=0 \quad\Rightarrow\quad -8+y=0 \quad\Rightarrow\quad y=8.
Logo existe um único ponto crítico: (-1,8).

Passo 6

Agora vamos classificar o ponto crítico. A técnica padrão em duas variáveis usa a matriz Hessiana (matriz das segundas derivadas) e o teste das segundas derivadas. Vou explicar isso devagar.
A Hessiana é
H(x,y)=\begin{pmatrix} \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} \\[4pt] \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} \end{pmatrix}.
No caso bidimensional, define-se o discriminante
D(x,y)=\det H(x,y)=f_{xx}\,f_{yy}-\big(f_{xy}\big)^{2}.
O teste é:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Vou calcular as segundas derivadas explicitamente.]

Passo 7

Calcular as segundas derivadas:
  • Já tínhamos f_x=4x\left(x^{2}+1\right)+y. Derivando em x
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\big(4x^{3}+4x+y\big)=12x^{2}+4.
(Outra forma: diferenciar 4x(x^2+1)=4x^3+4x 12x^2+4.)
  • Derivando f_x em y
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\big(4x(x^2+1)+y\big)=1.
  • Derivando f_y=x+1 em y
f_{yy}=0.
Portanto
H(x,y)=\begin{pmatrix}12x^{2}+4 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 8

Avaliar a Hessiana no ponto crítico (-1,8). Substituindo x=-1 obtemos
f_{xx}(-1,8)=12\cdot(-1)^{2}+4=12+4=16,\qquad f_{xy}(-1,8)=1,\qquad f_{yy}(-1,8)=0.
Então
D(-1,8)=16\cdot 0 - 1^{2}=-1<0.
Como D<0, pelo teste das segundas derivadas o ponto (-1,8) é um ponto de sela.

Passo 9

Para fixar a intuição (extra didática, bem simples): aproximando f perto de (-1,8) pela expansão de segunda ordem (como na prova do teste) e ignorando termos de ordem superior, o termo quadrático é
Q(h,k)=\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}h & k\end{pmatrix}H(-1,8)\begin{pmatrix}h\\[2pt] k\end{pmatrix} =\tfrac{1}{2}\big(16h^{2}+2hk\big)=8h^{2}+hk.
Escolhendo, por exemplo, k=0 Q=8h^{2}>0 quando h\neq0; escolhendo k=-9h Q=8h^{2}-9h^{2}=-h^{2}<0 quando h\neq0. Como há direções com curvatura positiva e outras com curvatura negativa, isso confirma que o ponto é de sela (troca de sinal do segundo termo).]

Resposta

(a) (-1,8)
(b) ponto de sela

Exercícios relacionados