Calcule as integrais abaixo
[1 \mathrm{pt}]
\int x^{2} e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{2} e^{x}\,dx.
Informações dadas: integrando é o produto de um polinômio x^{2} por uma exponencial e^{x}. Devemos fornecer uma primitiva (ou seja, a antiderivada) e lembrar da constante de integração C.

Passo 2

Vamos usar a fórmula de integração por partes. Antes de aplicar, explico e mostro de onde vem a fórmula: partimos da regra do produto para derivadas d(uv)=u\,dv+v\,du. Integrando ambos os lados,
\int d(uv)=\int u\,dv+\int v\,du.
Como \int d(uv)=uv, rearranjando obtemos a fórmula
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui u e dv são escolhidos de forma que du e v sejam mais simples; du é a derivada de u e v é uma primitiva de dv.

Passo 3

Escolhemos para a primeira aplicação:
u = x^{2},\qquad dv = e^{x}\,dx.
Justificativa: escolher o polinômio como u reduz o grau quando derivamos (vai facilitar). Agora calculamos du e v:
du = 2x\,dx,\qquad v = \int e^{x}\,dx = e^{x}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int x^{2} e^{x}\,dx = u v - \int v\,du = x^{2} e^{x} - \int e^{x}\cdot 2x\,dx.
Simplificando o fator 2:
\int x^{2} e^{x}\,dx = x^{2} e^{x} - 2\int x e^{x}\,dx.

Passo 5

Agora precisamos calcular \int x e^{x}\,dx. Repetimos integração por partes com
u = x,\qquad dv = e^{x}\,dx.
Calculamos
du = dx,\qquad v = e^{x}.
Aplicando a fórmula:
\int x e^{x}\,dx = u v - \int v\,du = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x}.

Passo 6

Voltando à expressão do Passo 4 e substituindo o resultado do Passo 5:
\int x^{2} e^{x}\,dx = x^{2} e^{x} - 2\bigl(x e^{x} - e^{x}\bigr).
Desenvolvendo os parênteses:
\int x^{2} e^{x}\,dx = x^{2} e^{x} - 2x e^{x} + 2 e^{x}.
Fatorando e^{x}:
\int x^{2} e^{x}\,dx = e^{x}\bigl(x^{2} - 2x + 2\bigr) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Podemos checar rapidamente derivando a resposta para ver se voltamos ao integrando. Usando a regra do produto,
\frac{d}{dx}\bigl[e^{x}(x^{2}-2x+2)\bigr] = e^{x}(x^{2}-2x+2)+e^{x}(2x-2)=e^{x}x^{2},
que é exatamente o integrando x^{2}e^{x}. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

e^{x}\bigl(x^{2}-2x+2\bigr)+C

Exercícios relacionados