Calcule as integrais abaixo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: integrando é o produto de um polinômio
por uma exponencial
. Devemos fornecer uma primitiva (ou seja, a antiderivada) e lembrar da constante de integração
.
Passo 2
Vamos usar a fórmula de integração por partes. Antes de aplicar, explico e mostro de onde vem a fórmula: partimos da regra do produto para derivadas
. Integrando ambos os lados,
Como
, rearranjando obtemos a fórmula
Aqui
e
são escolhidos de forma que
e
sejam mais simples;
é a derivada de
e
é uma primitiva de
.
Passo 3
Escolhemos para a primeira aplicação:
Justificativa: escolher o polinômio como
reduz o grau quando derivamos (vai facilitar). Agora calculamos
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando o fator
:
Passo 5
Agora precisamos calcular
. Repetimos integração por partes com
Calculamos
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Voltando à expressão do Passo 4 e substituindo o resultado do Passo 5:
Desenvolvendo os parênteses:
Fatorando
:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Podemos checar rapidamente derivando a resposta para ver se voltamos ao integrando. Usando a regra do produto,
que é exatamente o integrando
. Portanto a primitiva está correta.