Calcule:
.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a transformada inversa de Laplace da função
Informações dadas e observações úteis do enunciado:
- A função no domínio de
é . - Os fatores do denominador são
(fator linear real) e (quadrático irreducível com raízes imaginais ). - A pergunta é: encontrar
, ou seja, a função de cuja transformada de Laplace é essa expressão.
Passo 2
Ideias e fórmulas que vamos usar (aulas rápidas): linearidade e transformadas básicas.
- A transformada inversa é linear:
e constantes saem fora: . - Algumas transformadas padrão (para
): Isto implica, invertendo: - Como o denominador tem um fator linear e um quadrático, a técnica apropriada é decompor a função em frações parciais do tipo
porque o numerador sobre o quadrático exige uma expressão linear .
Passo 3
Montagem da decomposição em frações parciais.
Vamos escrever
Vamos escrever
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Passo 4
Expandir e igualar coeficientes para achar
.
Expandindo o lado direito:
Expandindo o lado direito:
Agrupando termos por potências de
:
Comparando com o lado esquerdo
, obtemos o sistema linear
Passo 5
Resolver o sistema de coeficientes.
Da primeira equação segue .
Substituindo na segunda: .
Substituindo na terceira:
Da primeira equação segue
Substituindo na segunda:
Substituindo
Logo
Então
Passo 6
Escrever a decomposição final usando os coeficientes encontrados.
Temos
Temos
Passo 7
Aplicar a transformada inversa termo a termo usando as fórmulas do Passo 2.
- Para
temos - Para
usamos , logo - Para
usamos com , então
Passo 8
Somando os termos do Passo 7 obtemos a função no domínio do tempo:
Podemos também escrever fatorando
: