Calcule:
L^{-1}\left\{\frac{s}{(s+3)\left(s^{2}+16\right)}\right\}.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a transformada inversa de Laplace da função
\frac{s}{(s+3)\left(s^{2}+16\right)}.
Informações dadas e observações úteis do enunciado:
  • A função no domínio de s é \dfrac{s}{(s+3)\left(s^{2}+16\right)}.
  • Os fatores do denominador são (s+3) (fator linear real) e s^{2}+16 (quadrático irreducível com raízes imaginais \pm 4\mathrm{i}).
  • A pergunta é: encontrar L^{-1}\!\left\{\dfrac{s}{(s+3)(s^{2}+16)}\right\}(t), ou seja, a função de t cuja transformada de Laplace é essa expressão.

Passo 2

Ideias e fórmulas que vamos usar (aulas rápidas): linearidade e transformadas básicas.
  • A transformada inversa é linear: L^{-1}\{F+G\}=L^{-1}\{F\}+L^{-1}\{G\} e constantes saem fora: L^{-1}\{cF\}=c\,L^{-1}\{F\}.
  • Algumas transformadas padrão (para t\ge 0): L\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},\qquad L\{\sin(at)\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}},\qquad L\{e^{-at}\}=\frac{1}{s+a}.Isto implica, invertendo: L^{-1}\left\{\frac{s}{s^{2}+a^{2}}\right\}=\cos(at),\qquad L^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+a^{2}}\right\}=\frac{1}{a}\sin(at),\qquad L^{-1}\left\{\frac{1}{s+a}\right\}=e^{-at}.
  • Como o denominador tem um fator linear e um quadrático, a técnica apropriada é decompor a função em frações parciais do tipo \frac{s}{(s+3)(s^{2}+16)}=\frac{A}{s+3}+\frac{Bs+C}{s^{2}+16},porque o numerador sobre o quadrático exige uma expressão linear Bs+C.

Passo 3

Montagem da decomposição em frações parciais.
Vamos escrever
\frac{s}{(s+3)(s^{2}+16)}=\frac{A}{s+3}+\frac{Bs+C}{s^{2}+16}.
Multiplicando ambos os lados por (s+3)(s^{2}+16) obtemos a identidade polinomial
s = A(s^{2}+16) + (Bs+C)(s+3).

Passo 4

Expandir e igualar coeficientes para achar A,B,C.
Expandindo o lado direito:
A(s^{2}+16) + (Bs+C)(s+3) = A s^{2} + 16A + B s^{2} + 3Bs + Cs + 3C.
Agrupando termos por potências de s:
\text{coeficiente de } s^{2}:\; A+B,
\text{coeficiente de } s:\; 3B+C,
\text{termo constante}:\; 16A+3C.
Comparando com o lado esquerdo s = 0\cdot s^{2} + 1\cdot s + 0, obtemos o sistema linear
\begin{cases} A + B = 0,\\[4pt] 3B + C = 1,\\[4pt] 16A + 3C = 0. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema de coeficientes.
Da primeira equação segue B=-A.
Substituindo na segunda: 3(-A)+C=1\Rightarrow C=1+3A.
Substituindo C na terceira:
16A + 3(1+3A)=0 \Rightarrow 16A + 3 + 9A = 0 \Rightarrow 25A + 3 = 0.
Logo
A = -\frac{3}{25}.
Então
B = -A = \frac{3}{25},
C = 1 + 3A = 1 + 3\left(-\frac{3}{25}\right) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}.

Passo 6

Escrever a decomposição final usando os coeficientes encontrados.
Temos
\frac{s}{(s+3)(s^{2}+16)} = \frac{A}{s+3} + \frac{Bs+C}{s^{2}+16} = -\frac{3}{25}\cdot\frac{1}{s+3} + \frac{3}{25}\cdot\frac{s}{s^{2}+16} + \frac{16}{25}\cdot\frac{1}{s^{2}+16}.

Passo 7

Aplicar a transformada inversa termo a termo usando as fórmulas do Passo 2.
  • Para -\dfrac{3}{25}\cdot\dfrac{1}{s+3} temos L^{-1}\!\left\{-\frac{3}{25}\cdot\frac{1}{s+3}\right\} = -\frac{3}{25}e^{-3t}.
  • Para \dfrac{3}{25}\cdot\dfrac{s}{s^{2}+16} usamos L^{-1}\{\dfrac{s}{s^{2}+4^{2}}\}=\cos(4t), logo L^{-1}\!\left\{\frac{3}{25}\cdot\frac{s}{s^{2}+16}\right\} = \frac{3}{25}\cos(4t).
  • Para \dfrac{16}{25}\cdot\dfrac{1}{s^{2}+16} usamos L^{-1}\{\dfrac{1}{s^{2}+a^{2}}\}=\dfrac{1}{a}\sin(at) com a=4, então L^{-1}\!\left\{\frac{16}{25}\cdot\frac{1}{s^{2}+16}\right\} = \frac{16}{25}\cdot\frac{1}{4}\sin(4t) = \frac{4}{25}\sin(4t).

Passo 8

Somando os termos do Passo 7 obtemos a função no domínio do tempo:
f(t)= -\frac{3}{25}e^{-3t} + \frac{3}{25}\cos(4t) + \frac{4}{25}\sin(4t).
Podemos também escrever fatorando 1/25:
f(t)=\frac{1}{25}\bigl(-3e^{-3t}+3\cos(4t)+4\sin(4t)\bigr).

Resposta

\frac{1}{25}\bigl(-3e^{-3t}+3\cos(4t)+4\sin(4t)\bigr)

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