Calcule:
Utilize o teorema da transformada de Laplace de convoluções de funções para calcular e^{-3 t} * \cos (4 t)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a convolução (e^{-3t}) * \cos(4t) usando o teorema da transformada de Laplace de convoluções.
Informações dadas: \;f(t)=e^{-3t} e \;g(t)=\cos(4t).
Queremos (f*g)(t) para t\ge 0.
Passo 2
Definição de convolução (para funções causais, integráveis):
(f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.
Teorema da transformada de Laplace para convolução (que usaremos): se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} e G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}, então
\mathcal{L}\{f*g\}(s)=F(s)\,G(s).
Ou seja: a transformada da convolução é o produto das transformadas. Depois calculamos a transformada inversa para obter (f*g)(t). Vou aplicar exatamente isso, porque o enunciado pediu.
Agora precisamos calcular a transformada inversa desse quociente racional, isto é, encontrar funções elementares cuja transformada some para dar essa expressão.
Passo 6
Fazemos decomposição em frações parciais. Procuramos constantes A,B,C tais que