Calcule:
Utilize o teorema da transformada de Laplace de convoluções de funções para calcular e^{-3 t} * \cos (4 t)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a convolução (e^{-3t}) * \cos(4t) usando o teorema da transformada de Laplace de convoluções.
Informações dadas:
\;f(t)=e^{-3t} e \;g(t)=\cos(4t).
Queremos (f*g)(t) para t\ge 0.

Passo 2

Definição de convolução (para funções causais, integráveis):
(f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.
Teorema da transformada de Laplace para convolução (que usaremos): se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} e G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}, então
\mathcal{L}\{f*g\}(s)=F(s)\,G(s).
Ou seja: a transformada da convolução é o produto das transformadas. Depois calculamos a transformada inversa para obter (f*g)(t). Vou aplicar exatamente isso, porque o enunciado pediu.

Passo 3

Calcular \mathcal{L}\{e^{-3t}\}. Por definição,
\mathcal{L}\{e^{-3t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-3t} e^{-st}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s+3)t}\,dt.
Essa integral é uma integral exponencial básica:
\int_{0}^{\infty} e^{-(s+3)t}\,dt=\left[\frac{-1}{s+3}e^{-(s+3)t}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s+3},
válido para \Re(s)>-3. Logo
\mathcal{L}\{e^{-3t}\}(s)=\frac{1}{s+3}.

Passo 4

Calcular \mathcal{L}\{\cos(4t)\}. Fórmula padrão:
\mathcal{L}\{\cos(at)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.
Aqui a=4, então
\mathcal{L}\{\cos(4t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+16}.

Passo 5

Pelo teorema da convolução, a transformada de (e^{-3t} * \cos(4t)) é o produto das transformadas:
\mathcal{L}\{e^{-3t} * \cos(4t)\}(s)=\frac{1}{s+3}\cdot\frac{s}{s^{2}+16}=\frac{s}{(s+3)(s^{2}+16)}.
Agora precisamos calcular a transformada inversa desse quociente racional, isto é, encontrar funções elementares cuja transformada some para dar essa expressão.

Passo 6

Fazemos decomposição em frações parciais. Procuramos constantes A,B,C tais que
\frac{s}{(s+3)(s^{2}+16)}=\frac{A}{s+3}+\frac{Bs+C}{s^{2}+16}.
Multiplicando ambos os lados por (s+3)(s^{2}+16) obtemos
s = A(s^{2}+16)+(Bs+C)(s+3).
Expandindo o lado direito:
s = A s^{2} + 16A + B s^{2} + 3B s + C s + 3C.
Agrupando coeficientes por potências de s:
s^{2}:\; A+B,\qquad s:\; 3B + C,\qquad \text{constante}:\;16A+3C.
Igualando aos coeficientes da esquerda (que é 0\cdot s^{2}+1\cdot s+0):
\begin{cases} A + B = 0,\\[4pt] 3B + C = 1,\\[4pt] 16A + 3C = 0. \end{cases}]

Passo 7

Resolver o sistema para A,B,C. Da primeira equação B=-A. Substituindo na segunda: 3(-A)+C=1 então C=1+3A. Substituindo A e C na terceira:
16A + 3(1+3A)=0 \Rightarrow 16A + 3 + 9A =0 \Rightarrow 25A + 3 = 0.
Logo
A = -\frac{3}{25}.
Então
B = -A = \frac{3}{25}, \qquad C = 1 + 3A = 1 + 3\left(-\frac{3}{25}\right)=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}.

Passo 8

Reescrevendo a decomposição com os valores encontrados:
\frac{s}{(s+3)(s^{2}+16)}=\frac{-\tfrac{3}{25}}{s+3}+\frac{\tfrac{3}{25}s+\tfrac{16}{25}}{s^{2}+16}.
Separando termos:
\frac{s}{(s+3)(s^{2}+16)}=-\frac{3}{25}\cdot\frac{1}{s+3}+\frac{3}{25}\cdot\frac{s}{s^{2}+16}+\frac{16}{25}\cdot\frac{1}{s^{2}+16}.

Passo 9

Aplicar a transformada inversa termo a termo. Usaremos fatos padrão:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+3}\right\}=e^{-3t},\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+16}\right\}=\cos(4t),
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}+16}\right\}=\frac{1}{4}\sin(4t).
Multiplicando pelos coeficientes:
(e^{-3t}*\cos(4t))(t)=-\frac{3}{25}e^{-3t}+\frac{3}{25}\cos(4t)+\frac{16}{25}\cdot\frac{1}{4}\sin(4t).
Simplificando o último coeficiente \frac{16}{25}\cdot\frac{1}{4}=\frac{4}{25}, obtemos
(e^{-3t}*\cos(4t))(t)=-\frac{3}{25}e^{-3t}+\frac{3}{25}\cos(4t)+\frac{4}{25}\sin(4t).

Resposta

-\frac{3}{25}e^{-3t}+\frac{3}{25}\cos(4t)+\frac{4}{25}\sin(4t)

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