Calcule as integrais abaixo
(ii)
(ii)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve o conteúdo de integração por substituição, que é uma técnica usada quando conseguimos simplificar a integral fazendo uma mudança de variável. Vamos precisar identificar uma parte da função que, ao ser substituída, facilite a resolução da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador da fração:
. Podemos reescrever isso completando o quadrado para facilitar a substituição. Completar o quadrado significa reorganizar a expressão quadrática para a forma
.
Então, temos:
Isso porque
, e adicionando 1 temos
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral com essa nova forma do denominador:
Aqui, percebemos que o numerador
é a derivada de
, o que nos dá uma dica para a substituição.
Passo 4
Vamos fazer a seguinte substituição:
Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Portanto:
Passo 5
Agora, substituímos na integral original:
A integral de
em relação a
é o logaritmo natural de
.
Passo 6
Integrando, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Substituindo
de volta em termos de
:
Como
é sempre positivo, podemos remover as barras de valor absoluto.
Resposta
A integral
é igual a:
Onde
é a constante de integração.