Calcule as integrais abaixo
(ii) integral x-1x^2-2 x+2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x - 1x^2 - 2x + 2 , dx. Esse exercício envolve o conteúdo de integração por substituição, que é uma técnica usada quando conseguimos simplificar a integral fazendo uma mudança de variável. Vamos precisar identificar uma parte da função que, ao ser substituída, facilite a resolução da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da fração: x^2 - 2x + 2. Podemos reescrever isso completando o quadrado para facilitar a substituição. Completar o quadrado significa reorganizar a expressão quadrática para a forma (x - a)^2 + b.
Então, temos:
x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1
Isso porque (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1, e adicionando 1 temos x^2 - 2x + 2.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral com essa nova forma do denominador:
integral x - 1(x - 1)^2 + 1 , dx
Aqui, percebemos que o numerador x - 1 é a derivada de (x - 1)^2, o que nos dá uma dica para a substituição.

Passo 4

Vamos fazer a seguinte substituição:
u = (x - 1)^2 + 1
Então, derivando ambos os lados em relação a x:
dudx = 2(x - 1)
Portanto:
du = 2(x - 1) , dx Rightarrow du2 = (x - 1) , dx

Passo 5

Agora, substituímos na integral original:
integral x - 1(x - 1)^2 + 1 , dx = integral 1u cdot du2 = 12 integral 1u , du
A integral de 1u em relação a u é o logaritmo natural de u.

Passo 6

Integrando, temos:
12 integral 1u , du = 12 ln|u| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Substituindo u de volta em termos de x:
12 ln|u| + C = 12 ln((x - 1)^2 + 1) + C
Como (x - 1)^2 + 1 é sempre positivo, podemos remover as barras de valor absoluto.

Resposta

A integral integral x - 1x^2 - 2x + 2 , dx é igual a:
12 ln((x - 1)^2 + 1) + C
Onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados