A resposta para a integral abaixo está correta? Justifique.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: temos uma integral definida por
e uma possível solução proposta como
. Vamos verificar se essa resposta está correta. Para isso, vamos usar o conhecimento de derivadas e integrais de funções racionais, especificamente envolvendo potências de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a função que estamos integrando:
. Essa é uma função racional onde o denominador é um polinômio quadrático elevado ao quadrado. Para integrar essa função, podemos usar a técnica de substituição ou reconhecer uma forma padrão de integral.
Passo 3
Vamos usar a técnica de substituição. Seja
. Então, a derivada de
em relação a
é
, o que implica
.
Passo 4
Substituindo na integral original, temos:
No entanto, percebemos que ainda temos um
no denominador, o que complica a integração. Isso indica que a substituição direta não é a melhor abordagem nesse caso.
Passo 5
Vamos tentar outra técnica: expandir a expressão e usar uma integral conhecida. Sabemos que:
Integrar uma função dessa forma pode ser complexo, então vamos reconsiderar a substituição.
Passo 6
Considerando que a função dada pode não ter uma integral elementar simples, vamos verificar se a proposta de solução está correta. A proposta é:
Para verificar, vamos derivar essa expressão e ver se obtemos a função original.
Passo 7
Derivando $ \frac{1/2}{9 - x^{2}} $, usamos a regra da cadeia:
Passo 8
A derivada obtida é $ \frac{-x}{(9 - x{2}){2}} $, que não corresponde à função original $ \frac{1}{(9 - x{2}){2}} $. Portanto, a solução proposta não está correta.
Resposta
Não, a resposta proposta está incorreta. A integral de $ \frac{1}{(9 - x{2}){2}} $ não é igual a $ \frac{1/2}{9 - x^{2}} + C $. A derivada da solução proposta não resulta na função original da integral.