A resposta para a integral abaixo está correta? Justifique.
integral 1(9-x^2)^2 d x=1 / 29-x^2+c

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos uma integral definida por integral 1(9-x^2)^2 , dx e uma possível solução proposta como 1 / 29-x^2 + C. Vamos verificar se essa resposta está correta. Para isso, vamos usar o conhecimento de derivadas e integrais de funções racionais, especificamente envolvendo potências de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a função que estamos integrando: 1(9 - x^2)^2. Essa é uma função racional onde o denominador é um polinômio quadrático elevado ao quadrado. Para integrar essa função, podemos usar a técnica de substituição ou reconhecer uma forma padrão de integral.

Passo 3

Vamos usar a técnica de substituição. Seja u = 9 - x^2. Então, a derivada de u em relação a x é dudx = -2x, o que implica dx = du-2x.

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
integral 1u^2 cdot du-2x
No entanto, percebemos que ainda temos um x no denominador, o que complica a integração. Isso indica que a substituição direta não é a melhor abordagem nesse caso.

Passo 5

Vamos tentar outra técnica: expandir a expressão e usar uma integral conhecida. Sabemos que:
1(9 - x^2)^2 = 181 - 18x^2 + x^4
Integrar uma função dessa forma pode ser complexo, então vamos reconsiderar a substituição.

Passo 6

Considerando que a função dada pode não ter uma integral elementar simples, vamos verificar se a proposta de solução está correta. A proposta é:
1/29 - x^2 + C
Para verificar, vamos derivar essa expressão e ver se obtemos a função original.

Passo 7

Derivando $ \frac{1/2}{9 - x^{2}} $, usamos a regra da cadeia:
1/29 - x^2

Passo 8

A derivada obtida é $ \frac{-x}{(9 - x{2}){2}} $, que não corresponde à função original $ \frac{1}{(9 - x{2}){2}} $. Portanto, a solução proposta não está correta.

Resposta

Não, a resposta proposta está incorreta. A integral de $ \frac{1}{(9 - x{2}){2}} $ não é igual a $ \frac{1/2}{9 - x^{2}} + C $. A derivada da solução proposta não resulta na função original da integral.

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