As perguntas implícitas são: escrever a integral dupla adequada com os limites corretos e calcular o valor numérico dessa integral. As informações relevantes dadas pelo enunciado são:
A função a integrar é x\sqrt{y^{2}-x^{2}}.
A região R é o triângulo no primeiro quadrante limitado por y=0, y=1 e x=y, ou seja 0\le y\le1 e, para cada y, 0\le x\le y.
Passo 2
Vamos escrever a integral em coordenadas cartesianas na ordem dx\,dy (integrar primeiro em x, depois em y), pois para cada y fixo o integrando em x tem forma apropriada para uma substituição trigonométrica. Assim:
Explico: a integral interior é sobre x indo de 0 a y com y tratado como constante; depois integramos em y de 0 a 1.
Passo 3
Para calcular a integral interior \displaystyle\int_{0}^{y} x\sqrt{y^{2}-x^{2}}\,dx usamos a substituição trigonométrica típica para termos da forma \sqrt{y^{2}-x^{2}}. Tome
x = y\sin u.
Agora transformamos tudo:
Quando x=0 temos u=0.
Quando x=y temos y\sin u = y então \sin u=1 e u=\tfrac{\pi}{2}.
Diferenciando, dx = y\cos u\,du.
A raiz transforma-se assim:
\sqrt{y^{2}-x^{2}}=\sqrt{y^{2}-y^{2}\sin^{2}u}=y\cos u.
Observação didática: essa técnica transforma uma integral dependente de um parâmetro y numa constante multiplicativa y^{3} vezes uma integral trigonométrica sem y, o que simplifica bastante.
Passo 4
Calculamos a integral trigonométrica
\int_{0}^{\pi/2}\sin u\cos^{2}u\,du.
Uma maneira direta é usar a substituição t=\cos u, então dt=-\sin u\,du. Os limites: quando u=0, t=\cos0=1; quando u=\pi/2, t=\cos(\pi/2)=0. Assim
Resumo final e incentivo rápido: transformando a integral interna por x=y\sin u a conta ficou simples porque a parte trigonométrica não dependia de y, e a integral em y reduziu-se a uma integral polinomial elementar. Isso é um truque comum em provas — quando aparece \sqrt{a^{2}-x^{2}} com a constante em relação a outra variável, experimente uma substituição trigonométrica que elimina a raiz.