Calcule as integrais abaixo:
\iint_{R} x \sqrt{y^{2}-x^{2}} d A, onde R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 0 \leq y \leq 1,0 \leq x \leq y\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} x \sqrt{y^{2}-x^{2}}\, dA,
onde a região R é
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2} \mid 0\le y\le 1,\;0\le x\le y\}.
As perguntas implícitas são: escrever a integral dupla adequada com os limites corretos e calcular o valor numérico dessa integral. As informações relevantes dadas pelo enunciado são:
  • A função a integrar é x\sqrt{y^{2}-x^{2}}.
  • A região R é o triângulo no primeiro quadrante limitado por y=0, y=1 e x=y, ou seja 0\le y\le1 e, para cada y, 0\le x\le y.

Passo 2

Vamos escrever a integral em coordenadas cartesianas na ordem dx\,dy (integrar primeiro em x, depois em y), pois para cada y fixo o integrando em x tem forma apropriada para uma substituição trigonométrica. Assim:
\iint_{R} x\sqrt{y^{2}-x^{2}}\,dA = \int_{y=0}^{1}\left(\int_{x=0}^{y} x\sqrt{y^{2}-x^{2}}\,dx\right)dy.
Explico: a integral interior é sobre x indo de 0 a y com y tratado como constante; depois integramos em y de 0 a 1.

Passo 3

Para calcular a integral interior \displaystyle\int_{0}^{y} x\sqrt{y^{2}-x^{2}}\,dx usamos a substituição trigonométrica típica para termos da forma \sqrt{y^{2}-x^{2}}. Tome
x = y\sin u.
Agora transformamos tudo:
  • Quando x=0 temos u=0.
  • Quando x=y temos y\sin u = y então \sin u=1 e u=\tfrac{\pi}{2}.
  • Diferenciando, dx = y\cos u\,du.
  • A raiz transforma-se assim:
\sqrt{y^{2}-x^{2}}=\sqrt{y^{2}-y^{2}\sin^{2}u}=y\cos u.
Substituindo na integral interior,
\int_{x=0}^{y} x\sqrt{y^{2}-x^{2}}\,dx = \int_{u=0}^{\pi/2} (y\sin u)\,(y\cos u)\,(y\cos u\,du).
Agora simplificando os fatores y e as funções trigonométricas,
(y\sin u)(y\cos u)(y\cos u\,du)=y^{3}\sin u\cos^{2}u\,du.
Portanto a integral interior fica
\int_{0}^{y} x\sqrt{y^{2}-x^{2}}\,dx = y^{3}\int_{0}^{\pi/2}\sin u\cos^{2}u\,du.
Observação didática: essa técnica transforma uma integral dependente de um parâmetro y numa constante multiplicativa y^{3} vezes uma integral trigonométrica sem y, o que simplifica bastante.

Passo 4

Calculamos a integral trigonométrica
\int_{0}^{\pi/2}\sin u\cos^{2}u\,du.
Uma maneira direta é usar a substituição t=\cos u, então dt=-\sin u\,du. Os limites: quando u=0, t=\cos0=1; quando u=\pi/2, t=\cos(\pi/2)=0. Assim
\int_{0}^{\pi/2}\sin u\cos^{2}u\,du = -\int_{t=1}^{0} t^{2}\,dt = \int_{0}^{1} t^{2}\,dt.
Agora integramos t^{2}:
\int_{0}^{1} t^{2}\,dt = \left.\frac{t^{3}}{3}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{3}.
Portanto
\int_{0}^{\pi/2}\sin u\cos^{2}u\,du = \frac{1}{3}.

Passo 5

Voltando à integral dupla, substituímos o resultado da integral interior:
\int_{x=0}^{y} x\sqrt{y^{2}-x^{2}}\,dx = y^{3}\cdot\frac{1}{3} = \frac{y^{3}}{3}.
Agora integramos em y de 0 a 1:
\iint_{R} x\sqrt{y^{2}-x^{2}}\,dA = \int_{0}^{1} \frac{y^{3}}{3}\,dy = \frac{1}{3}\int_{0}^{1} y^{3}\,dy.
Calcule a integral de y^{3}:
\int_{0}^{1} y^{3}\,dy = \left.\frac{y^{4}}{4}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{4}.
Multiplicando,
\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{12}.

Passo 6

Resumo final e incentivo rápido: transformando a integral interna por x=y\sin u a conta ficou simples porque a parte trigonométrica não dependia de y, e a integral em y reduziu-se a uma integral polinomial elementar. Isso é um truque comum em provas — quando aparece \sqrt{a^{2}-x^{2}} com a constante em relação a outra variável, experimente uma substituição trigonométrica que elimina a raiz.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{12}

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