Calcule e classifique os pontos críticos da função:
1,0
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: encontrar os pontos críticos (ou seja, onde a derivada parcial em relação a cada variável é zero) e classificar esses pontos (mínimo, máximo ou ponto de sela). Informação adicional implícita: o domínio é
.
Passo 2
Conceito necessário (passo-a-passo): para encontrar pontos críticos de uma função de duas variáveis, calculamos as derivadas parciais primeiras e igualamos a zero. A derivada parcial em relação a
, denotada
, mede a taxa de variação de
quando apenas
muda e
fica fixo. A derivada parcial em relação a
,
, mede a mesma coisa trocando
por
. Um ponto
é crítico se
Vou calcular essas derivadas e resolver o sistema.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais primeiras:
Agora resolvo o sistema
,
:
Portanto existe um único ponto crítico:
.
Passo 4
Conceito de classificação (segunda derivada / teste da Hessiana): para uma função de duas variáveis, usamos as segundas derivadas no ponto crítico. Definimos
O determinante da Hessiana é
Regras de interpretação no ponto crítico:
- Se
e , então ponto crítico é um mínimo local. - Se
e , então é um máximo local. - Se
, é ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
Vou calcular essas segundas derivadas para o nosso
.
Passo 5
Calcular segundas derivadas:
No ponto crítico esses valores continuam os mesmos (são constantes):
Como
e
, pelo teste acima o ponto crítico
é um mínimo local. Além disso, como a matriz hessiana é positiva definida (autovalores positivos, aqui simplesmente
e
), a função é convexa quadrática e esse mínimo local é também mínimo global — não existe outro ponto com valor menor.
Passo 6
Verificação alternativa (método elemental útil na prova): completar quadrados para ver explicitamente a forma canônica da função. Reescrevendo
:
Complete quadrado em
e em
:
Substituindo:
Dessa forma fica óbvio: o menor valor possível de
é
, atingido em
. Logo o valor mínimo de
é
, atingido em
. Isso confirma que é mínimo global.