Calcule e classifique os pontos críticos da função:
1,0
f(x, y)=x^{2}+y^{2}-6 x-2 y+7

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}+y^{2}-6x-2y+7
e pede duas coisas: encontrar os pontos críticos (ou seja, onde a derivada parcial em relação a cada variável é zero) e classificar esses pontos (mínimo, máximo ou ponto de sela). Informação adicional implícita: o domínio é \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Conceito necessário (passo-a-passo): para encontrar pontos críticos de uma função de duas variáveis, calculamos as derivadas parciais primeiras e igualamos a zero. A derivada parcial em relação a x, denotada \dfrac{\partial f}{\partial x}, mede a taxa de variação de f quando apenas x muda e y fica fixo. A derivada parcial em relação a y, \dfrac{\partial f}{\partial y}, mede a mesma coisa trocando x por y. Um ponto (x_{0},y_{0}) é crítico se
\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})=0 \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})=0.
Vou calcular essas derivadas e resolver o sistema.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais primeiras:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x-6, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2y-2.
Agora resolvo o sistema \frac{\partial f}{\partial x}=0, \frac{\partial f}{\partial y}=0:
2x-6=0 \quad\Rightarrow\quad x=3,
2y-2=0 \quad\Rightarrow\quad y=1.
Portanto existe um único ponto crítico: (3,1).

Passo 4

Conceito de classificação (segunda derivada / teste da Hessiana): para uma função de duas variáveis, usamos as segundas derivadas no ponto crítico. Definimos
f_{xx}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}},\quad f_{yy}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}},\quad f_{xy}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}.
O determinante da Hessiana é
D = f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^{2}.
Regras de interpretação no ponto crítico:
  • Se D>0 e f_{xx}>0, então ponto crítico é um mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0, então é um máximo local.
  • Se D<0, é ponto de sela.
  • Se D=0, o teste é inconclusivo.
Vou calcular essas segundas derivadas para o nosso f.

Passo 5

Calcular segundas derivadas:
f_{xx}(x,y)=2,\qquad f_{yy}(x,y)=2,\qquad f_{xy}(x,y)=0.
No ponto crítico esses valores continuam os mesmos (são constantes):
D = f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}=2\cdot2-0^{2}=4.
Como D=4>0 e f_{xx}=2>0, pelo teste acima o ponto crítico (3,1) é um mínimo local. Além disso, como a matriz hessiana é positiva definida (autovalores positivos, aqui simplesmente 2 e 2), a função é convexa quadrática e esse mínimo local é também mínimo global — não existe outro ponto com valor menor.

Passo 6

Verificação alternativa (método elemental útil na prova): completar quadrados para ver explicitamente a forma canônica da função. Reescrevendo \,f(x,y)\,:
f(x,y)=x^{2}-6x+y^{2}-2y+7.
Complete quadrado em x e em y:
x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9, \qquad y^{2}-2y=(y-1)^{2}-1.
Substituindo:
f(x,y)=(x-3)^{2}-9+(y-1)^{2}-1+7=(x-3)^{2}+(y-1)^{2}-3.
Dessa forma fica óbvio: o menor valor possível de (x-3)^{2}+(y-1)^{2} é 0, atingido em (x,y)=(3,1). Logo o valor mínimo de f é -3, atingido em (3,1). Isso confirma que é mínimo global.

Resposta

(3,1) é o único ponto crítico; é um mínimo global e f(3,1)=-3.

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