Questão. ( 2,5 pts) Considere a curva
,
e o campo de vetores
Calcule a integral de linha. DICA: a curva enlaça a origem, use o teorema de Green.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A curva
é dada por , com . - O campo de vetores é
. - A tarefa é calcular a integral de linha
.
Informações adicionais que podemos extrair do enunciado:
- Ao definir
temos variando de a quando vai de a . Logo a curva percorre a elipse uma volta completa. - O percurso é fechado e faz uma volta no sentido anti-horário (ccw), já que
aumenta de a . - A curva
envolve a origem exatamente uma vez (a elipse está centrada na origem).
Passo 2
Vamos analisar as componentes do campo e o seu rotacional (que é o que aparece no Teorema de Green). Escrevendo
com
O rotacional (a componente
em 2D) é
Calculamos cada derivada usando a regra do quociente. Primeiro
:
Agora
:
Portanto o rotacional é
Conclusão: o rotacional de
é
em todo ponto onde
está definido (isto é, em
). Note que
não está definida na origem.
Passo 3
Explicação da ideia de resolução (controle de singularidade na origem):
- O Teorema de Green diz, para uma região plana
cuja fronteira é composta por curvas lisas e orientadas positivamente (contorno exterior ccw e possíveis contornos interiores cw), que
- Aqui não podemos aplicar diretamente Green no disco interior à curva
porque não está definida na origem; o rotacional é fora da origem, mas há uma singularidade em . - Estratégia: remover um pequeno disco de raio
centrado na origem e aplicar Green na região anelar entre a elipse (contorno exterior, ccw) e o círculo pequeno (contorno interior). Como o rotacional é em , a integral dupla no lado direito é zero. Pela orientação (contorno interior é percorrido no sentido horário quando aplicamos Green), obtemos a relação entre as integrais nas fronteiras:
Escrevendo a integral em
no sentido anti-horário (ccw) como
, a orientação cw dá um sinal negativo, então a igualdade fica
Ou seja: a integral sobre a elipse
é igual à integral sobre um pequeno círculo ao redor da origem, ambos com orientação ccw. (Isso vale porque o rotacional é zero no anel.)
Passo 4
Calcular a integral sobre o pequeno círculo
de raio
(parametrizado ccw). Parametrização padrão:
Então
e
. No círculo temos
. Substituindo em
:
O produto escalar
é
Simplificando:
Portanto a integral ao redor do círculo é
Passo 5
Como vimos no Passo 3,
. Do Passo 4 temos
. Logo