{ }^{\mathrm{a}} Questão. ( 2,5 pts) Considere a curva C \operatorname{com} r(t)=\langle 4 \cos (2 t), 2 \operatorname{sen}(2 t)\rangle, t \in(0, \pi) e o campo de vetores
F=\left\langle\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right\rangle .
Calcule a integral de linha. DICA: a curva enlaça a origem, use o teorema de Green.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A curva C é dada por \displaystyle r(t)=\langle 4\cos(2t),\,2\operatorname{sen}(2t)\rangle, com t\in(0,\pi).
  • O campo de vetores é \displaystyle F=\left\langle \frac{-y}{x^{2}+y^{2}},\,\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right\rangle.
  • A tarefa é calcular a integral de linha \displaystyle \oint_{C} F\cdot dr.
Informações adicionais que podemos extrair do enunciado:
  • Ao definir \theta=2t temos \theta variando de 0 a 2\pi quando t vai de 0 a \pi. Logo a curva percorre a elipse x=4\cos\theta,\;y=2\operatorname{sen}\theta uma volta completa.
  • O percurso é fechado e faz uma volta no sentido anti-horário (ccw), já que \theta aumenta de 0 a 2\pi.
  • A curva C envolve a origem (0,0) exatamente uma vez (a elipse está centrada na origem).

Passo 2

Vamos analisar as componentes do campo e o seu rotacional (que é o que aparece no Teorema de Green). Escrevendo F=\langle P(x,y),Q(x,y)\rangle com
P(x,y)=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}},\qquad Q(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
O rotacional (a componente k em 2D) é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}.
Calculamos cada derivada usando a regra do quociente. Primeiro \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}:
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right) =\frac{(1)(x^{2}+y^{2})-x(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{x^{2}+y^{2}-2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Agora \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}:
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\right) =\frac{(-1)(x^{2}+y^{2})-(-y)(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{-x^{2}-y^{2}+2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Portanto o rotacional é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}-\frac{-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=0.
Conclusão: o rotacional de F é 0 em todo ponto onde F está definido (isto é, em \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}). Note que F não está definida na origem.

Passo 3

Explicação da ideia de resolução (controle de singularidade na origem):
  • O Teorema de Green diz, para uma região plana D cuja fronteira \partial D é composta por curvas lisas e orientadas positivamente (contorno exterior ccw e possíveis contornos interiores cw), que
\oint_{\partial D} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D}\!\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
  • Aqui não podemos aplicar diretamente Green no disco interior à curva C porque F não está definida na origem; o rotacional é 0 fora da origem, mas há uma singularidade em (0,0).
  • Estratégia: remover um pequeno disco de raio \varepsilon centrado na origem e aplicar Green na região anelar D_{\varepsilon} entre a elipse C (contorno exterior, ccw) e o círculo pequeno S_{\varepsilon} (contorno interior). Como o rotacional é 0 em D_{\varepsilon}, a integral dupla no lado direito é zero. Pela orientação (contorno interior é percorrido no sentido horário quando aplicamos Green), obtemos a relação entre as integrais nas fronteiras:
\oint_{C} F\cdot dr + \oint_{S_{\varepsilon}} F\cdot dr_{\text{(orientação cw)}} = 0.çã
Escrevendo a integral em S_{\varepsilon} no sentido anti-horário (ccw) como \oint_{S_{\varepsilon}}^{\text{ccw}} F\cdot dr, a orientação cw dá um sinal negativo, então a igualdade fica
\oint_{C} F\cdot dr - \oint_{S_{\varepsilon}}^{\text{ccw}} F\cdot dr = 0 \quad\Rightarrow\quad \oint_{C} F\cdot dr = \oint_{S_{\varepsilon}}^{\text{ccw}} F\cdot dr.
Ou seja: a integral sobre a elipse C é igual à integral sobre um pequeno círculo ao redor da origem, ambos com orientação ccw. (Isso vale porque o rotacional é zero no anel.)

Passo 4

Calcular a integral sobre o pequeno círculo S_{\varepsilon} de raio \varepsilon>0 (parametrizado ccw). Parametrização padrão:
x(\theta)=\varepsilon\cos\theta,\qquad y(\theta)=\varepsilon\operatorname{sen}\theta,\qquad \theta\in[0,2\pi].
Então dx=-\varepsilon\operatorname{sen}\theta\,d\theta e dy=\varepsilon\cos\theta\,d\theta. No círculo temos x^{2}+y^{2}=\varepsilon^{2}. Substituindo em F:
F(x(\theta),y(\theta)) =\left\langle \frac{-\varepsilon\operatorname{sen}\theta}{\varepsilon^{2}},\;\frac{\varepsilon\cos\theta}{\varepsilon^{2}}\right\rangle =\left\langle \frac{-\operatorname{sen}\theta}{\varepsilon},\;\frac{\cos\theta}{\varepsilon}\right\rangle.
O produto escalar F\cdot r'(\theta)\,d\theta é
F\cdot r'(\theta) =\left\langle \frac{-\operatorname{sen}\theta}{\varepsilon},\;\frac{\cos\theta}{\varepsilon}\right\rangle \cdot \langle -\varepsilon\operatorname{sen}\theta,\;\varepsilon\cos\theta\rangle = \frac{-\operatorname{sen}\theta}{\varepsilon}\cdot(-\varepsilon\operatorname{sen}\theta)+\frac{\cos\theta}{\varepsilon}\cdot(\varepsilon\cos\theta).
Simplificando:
F\cdot r'(\theta)=\operatorname{sen}^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1.
Portanto a integral ao redor do círculo é
\oint_{S_{\varepsilon}}^{\text{ccw}} F\cdot dr =\int_{0}^{2\pi} 1\,d\theta = 2\pi.

Passo 5

Como vimos no Passo 3, \displaystyle \oint_{C} F\cdot dr = \oint_{S_{\varepsilon}}^{\text{ccw}} F\cdot dr. Do Passo 4 temos \displaystyle \oint_{S_{\varepsilon}}^{\text{ccw}} F\cdot dr=2\pi. Logo
\oint_{C} F\cdot dr = 2\pi.

Resposta

\;2\pi

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