Calcule as integrais abaixo
\int_{-2}^{-1} \frac{x^{2}+2 x-1}{(2 x+1)(x-2)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-2}^{-1} \frac{x^{2}+2 x-1}{(2 x+1)(x-2)^{2}}\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando: }\frac{x^{2}+2 x-1}{(2 x+1)(x-2)^{2}},\qquad \text{intervalo: }x\in[-2,-1].
O objetivo é obter o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Escolhendo um método prático: vamos decompor a função racional em frações parciais (porque o denominador é produto de fatores lineares, um deles repetido), integrar termo a termo e avaliar nos limites. Breve explicação do que faremos: para integrar uma razão de polinômios em que o grau do numerador é menor que o do denominador e o denominador fatorado tem fatores lineares (possivelmente repetidos), escrevemos uma soma de termos do tipo constante sobre cada fator — no caso de fator repetido (x-a)^{2} precisamos de termos \dfrac{B}{x-a}+\dfrac{C}{(x-a)^{2}}.
Aplicando isso ao nosso caso, assumimos a decomposição
\frac{x^{2}+2 x-1}{(2 x+1)(x-2)^{2}}=\frac{A}{2x+1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^{2}},
onde A,B,C são constantes a determinar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (2x+1)(x-2)^{2} para obter uma identidade de polinômios:
x^{2}+2x-1 \;=\; A(x-2)^{2}+B(2x+1)(x-2)+C(2x+1).
Agora vamos expandir o lado direito para comparar coeficientes.
Expansões:
A(x-2)^{2}=A(x^{2}-4x+4)=A x^{2}-4A x+4A,
(2x+1)(x-2)=2x^{2}-3x-2 \quad\text{logo}\quad B(2x+1)(x-2)=2B x^{2}-3B x-2B,
C(2x+1)=2C x + C.
Somando tudo:
A x^{2}-4A x+4A + 2B x^{2}-3B x-2B + 2C x + C.
Agrupando termos por potências de x:
x^{2}:\; A+2B,
x^{1}:\; -4A-3B+2C,
x^{0}:\; 4A-2B+C.
Esses coeficientes devem coincidir com os do polinômio x^{2}+2x-1, portanto obtemos o sistema linear:
\begin{cases} A+2B=1,\\[4pt] -4A-3B+2C=2,\\[4pt] 4A-2B+C=-1. \end{cases}]

Passo 4

Resolvendo o sistema. Da primeira equação isolamos A:
A=1-2B.
Substituímos na segunda:
-4(1-2B)-3B+2C=2 \implies -4+8B-3B+2C=2 \implies 5B+2C=6.
Logo
C=3-\frac{5}{2}B.
Substituímos A=1-2B na terceira:
4(1-2B)-2B+C=-1 \implies 4-8B-2B+C=-1 \implies C=-5+10B.
Agora igualamos as duas expressões para C:
3-\frac{5}{2}B = -5+10B.
Resolvendo:
3+5 = 10B + \frac{5}{2}B \implies 8 = \frac{25}{2}B \implies B = \frac{16}{25}.
Com B encontrado:
A=1-2B = 1 - \frac{32}{25} = -\frac{7}{25},
C=-5+10B = -5 + \frac{160}{25} = \frac{7}{5}.

Passo 5

Escrevemos a decomposição final com os valores encontrados:
\frac{x^{2}+2 x-1}{(2 x+1)(x-2)^{2}} = \frac{A}{2x+1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^{2}}
com
A=-\frac{7}{25},\quad B=\frac{16}{25},\quad C=\frac{7}{5}.
Assim
\frac{x^{2}+2 x-1}{(2 x+1)(x-2)^{2}} = -\frac{7}{25}\cdot\frac{1}{2x+1}+\frac{16}{25}\cdot\frac{1}{x-2}+\frac{7}{5}\cdot\frac{1}{(x-2)^{2}}.

Passo 6

Integramos termo a termo. Lembrando as primitivas úteis:
\int \frac{1}{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}\ln|ax+b| + C,
porque pela regra da cadeia a derivada de \ln|ax+b| é \dfrac{a}{ax+b}.
E
\int \frac{1}{(x-a)^{2}}\,dx = \int (x-a)^{-2}\,dx = -(x-a)^{-1}+C = -\frac{1}{x-a}+C.
Aplicando isso ao nosso somatório:
\int\left(-\frac{7}{25}\cdot\frac{1}{2x+1}\right)dx = -\frac{7}{25}\cdot\frac{1}{2}\ln|2x+1| = -\frac{7}{50}\ln|2x+1|,
\int \frac{16}{25}\cdot\frac{1}{x-2}\,dx = \frac{16}{25}\ln|x-2|,
\int \frac{7}{5}\cdot\frac{1}{(x-2)^{2}}\,dx = \frac{7}{5}\cdot\left(-\frac{1}{x-2}\right) = -\frac{7}{5}\cdot\frac{1}{x-2}.
Portanto uma primitiva F(x) adequada é
F(x) = -\frac{7}{50}\ln|2x+1| + \frac{16}{25}\ln|x-2| - \frac{7}{5}\cdot\frac{1}{x-2}.

Passo 7

Avaliação da integral definida \displaystyle\int_{-2}^{-1} usando F(x):
\int_{-2}^{-1}\frac{x^{2}+2 x-1}{(2 x+1)(x-2)^{2}}\,dx = F(-1)-F(-2).
Calculamos F(-1) e F(-2) separadamente.
Para x=-1:
2x+1 = -1 \implies \ln|2x+1|=\ln 1=0,
x-2=-3 \implies \ln|x-2|=\ln 3,
-\frac{7}{5}\cdot\frac{1}{x-2} = -\frac{7}{5}\cdot\frac{1}{-3}=+\frac{7}{15}.
Logo
F(-1)=0 + \frac{16}{25}\ln 3 + \frac{7}{15}.
Para x=-2:
2x+1=-3 \implies \ln|2x+1|=\ln 3,
x-2=-4 \implies \ln|x-2|=\ln 4,
-\frac{7}{5}\cdot\frac{1}{x-2} = -\frac{7}{5}\cdot\frac{1}{-4}=+\frac{7}{20}.
Logo
F(-2) = -\frac{7}{50}\ln 3 + \frac{16}{25}\ln 4 + \frac{7}{20}.

Passo 8

Agora subtraímos F(-1)-F(-2):
F(-1)-F(-2) = \left(\frac{16}{25}\ln 3 + \frac{7}{15}\right) -\left(-\frac{7}{50}\ln 3 + \frac{16}{25}\ln 4 + \frac{7}{20}\right).
Agrupando os termos de \ln 3:
\frac{16}{25}\ln 3 -\left(-\frac{7}{50}\ln 3\right) = \left(\frac{16}{25}+\frac{7}{50}\right)\ln 3 = \frac{39}{50}\ln 3.
Para \ln 4 temos -\frac{16}{25}\ln 4. Para as constantes:
\frac{7}{15}-\frac{7}{20} = \frac{28-21}{60}=\frac{7}{60}.
Portanto o resultado simplificado é
\frac{39}{50}\ln 3 - \frac{16}{25}\ln 4 + \frac{7}{60}.
Observação: \ln 4=2\ln 2, então uma forma alternativa é
\frac{39}{50}\ln 3 - \frac{32}{25}\ln 2 + \frac{7}{60}.

Resposta

\displaystyle \frac{39}{50}\ln 3 - \frac{16}{25}\ln 4 + \frac{7}{60}

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